כופלי לגראנז'

כופלי לגראנז' הם משתנים מלאכותיים שמוסיפים לפונקציה כדי למצוא נקודות קיצון תחת אילוצים. "אילוץ" הוא משוואה שמגבילה את המשתנים, למשל נקודות שמקיימות מעגל אחד. השיטה מאפשרת להפוך בעיית קצה עם אילוץ לבעיה ללא אילוצים על ידי הוספת משתנים חדשים שנקראים כופלי לגראנז'.

השיטה נכונה כי בפתרון קיצון הגרדיאנט של הפונקציה (וקטור של כל הנגזרות החלקיות) הוא צירוף ליניארי של גרדיאנטים של האילוצים. כלומר, בכיוון שבו הפונקציה משתנה הכי הרבה יש גם מרכיב מהאילוץ.

מגדירים פונקציה חדשה שמוסיפה לפונקציה המקורית סכום של כופלים כפול אילוצים. כופלי לגראנז' הם המספרים \\lambda שמוכפלים בפונקציות האילוץ. מבחינים בפתרון על ידי גזירת הפונקציה החדשה לפי כל המשתנים והכופלים, ושווים את הנגזרות לאפס. כך מקבלים מערכת של משוואות במשתנים המקוריים ובכופלים. בדרך זו מקבלים בדיוק מספר משוואות השווה למספר הנעלמים.

ההסיאן היא מטריצה של נגזרות שניות. תחת תנאים מסוימים היא מסייעת לקבוע אם נקודה חשודה היא מינימום, מקסימום או נקודת אוכף.

דוגמה פשוטה: רוצים למקסם את הממשק בין x ו-y כפונקציה f=xy כשהן מוגבלות להיות על מעגל יחידה. אחרי השימוש בכופלי לגראנז' מקבלים משוואות שמובילות לכך ש-|x|=|y| והן שוות לשורש של חצי. פיתרון זה נותן את נקודות הקיצון על המעגל.

דוגמה נוספת בתכנון כלי: בעיה שדורשת לשמור על נפח קבוע מובילה למשוואות שמשוות גדלים של רדיוס וגובה. השימוש בכופלי לגראנז' פותח פתרון אלגנטי למציאת היחסים הנכונים בין הממדים.

כופלי לגראנז' הם טריק מתמטי. מוסיפים מספרים מיוחדים כדי למצוא את המקום הכי גבוה או הכי נמוך. "אילוץ" אומר איפה מותר להיות. לפעמים אפשר להיות רק על מעגל או קו.

הרעיון הוא שאם רוצים לשנות משהו והאילוץ מכתיב כיוון, השינוי של הפונקציה יתקשר לכיוון של האילוץ.

מוסיפים לממשק (הפונקציה) מספרים הנקראים כופלים. אחר כך מחשבים נגזרות ומוצאים נקודות שבהן כל הדברים עוצרים. הפתרונות הם המצב שבו התנאים מתקיימים גם עבור האילוץ וגם עבור הפונקציה.

ההסיאן (מטריצה של בדיקות נוספות) עוזרת להבין אם נקודה היא הכי גבוהה או הכי נמוכה.

לדוגמה, אם רוצים שהמוצר של x ו-y יהיה הכי גדול על מעגל, הטריק מראה שהנקודות הטובות הן אלה שבהן x ו-y שווים בגודל. דוגמה אחרת מראה איך למצוא רדיוס וגובה נכונים כשנשאר נפח קבוע.