מבחני התכנסות לטורים בוחנים אם טור אינסופי מתכנס למספר סופי. טור אינסופי הוא סכום של אינסוף איברים. ההגדרה הפורמלית היא שסדרת הסכומים החלקיים, כלומר הסכומים של האיברים עד אינדקס n, מתכנסת למספר סופי.
תנאי הכרחי הוא שאיבר הכללי של הטור שואף לאפס כאשר n שואף לאינסוף. תנאי זה לבד אינו מספיק, כפי שהטור ההרמוני מראה.
בטורים חיוביים, שכל איבריהם לא שליליים, סדרת הסכומים החלקיים היא עולה. לכן כדי להראות התכנסות צריך להראות שהסכומים האלה חסומים. אם אינם חסומים, הטור מתבדר לאינסוף.
מבחן ההשוואה משווה טור ידוע לטור הנבדק. אם החל ממקום מסוים 0 ≤ a_n ≤ b_n, והטור עם b_n מתכנס, גם הטור עם a_n יתכנס. קיים גם מבחן השוואה גבולי המבוסס על גבול היחס a_n/b_n.
הטור עם איבר כללי 1/(n·n^{1/n}) מתבדר, כי יחסו לטור ההרמוני שואף ל-1, והטור ההרמוני מתבדר.
מבחן השורש בודק את הגבול של השורש ה-n של a_n. אם הוא קטן מ-1 הטור מתכנס, אם גדול מ-1 הטור מתבדר. המקרה שווה ל-1 אינו מספק מידע.
מבחן המנה (ד'אלמבר) בודק את יחס a_{n+1}/a_n. גם כאן אם הגבול קטן מ-1 יש התכנסות, אם גדול מ-1 יש התבדרות. אם הגבול שווה ל-1 המבחן אינו מספיק.
מבחן השורש נחשב חזק יותר מהמבחן של המנה. לדוגמה, סדרת איברים שמייצרת יחס משתנה עשויה להיכשל במבחן המנה אך לעבור במבחן השורש.
כאשר יש פונקציה חיובית ויורדת, התכנסות הטור של ערכי הפונקציה בנקודות שלמות שקולה להתכנסות של האינטגרל הלא-סופי שלה. כלומר אם האינטגרל מתבדר, גם הטור מתבדר.
ראבה משפר את מבחן המנה על ידי חישוב הגבול n(1 - a_{n+1}/a_n). אם גבול זה גדול מ-1 יש התכנסות, ואם קטן מ-1 יש התבדרות. במקרה שווה ל-1 אין מידע.
עקרון העיבוי אומר שטור חיובי יורד מתכנס אם ורק אם הטור שנוצר על ידי כפל באיברים ב־2^n מתכנס. באופן מעשי זה מקל על בדיקה של טורים כמו 1/(n ln n).
טור מתכנס בהחלט אם טור הערכים המוחלטים שלו מתכנס. התכנסות בהחלט גוררת התכנסות רגילה. טור שמתכנס ולא בצורה בהחלטית נקרא מתכנס בתנאי.
טור מתכנס אם ורק אם סדרת הסכומים החלקיים היא סדרת קושי. כלומר לכל אפסילון קיים N כך שכל סכום של מקטע סופי אחרי N קטן מהאפסילון.
אם a_n היא סדרה חיובית, יורדת ושואפת לאפס, אז הטור החליפי עם אותיות מקדימות מתכנס. שארית הזנב אחרי m שונה בערך מאיבר m הראשון בלבד.
דיריכלה: אם a_n יורדת לשבלול אפס וערכת הסכומים החלקיים של b_n חסומה, אז הטור של a_n·b_n מתכנס. זו הכללה של לייבניץ.
אבל: אם a_n מונוטונית וחסומה ו־sum b_n מתכנס, אז גם sum a_n·b_n מתכנס.
מכפלה אינסופית של (1+a_n) מתכנסת או מתבדרת יחד עם הטור של הלוגריתמים שלה. כאשר a_n קטנים מספיק, התכנסות המכפלה שקולה להתכנסות הטור של a_n.
טור אינסופי הוא סכום של הרבה מאוד מספרים. לעתים אין סוף ואנחנו רוצים לדעת אם הסכום מגיע למספר קבוע בסוף.
אם האיברים של הטור לא שואפים לאפס אז הטור לא יתכנס.
אם כל האיברים חיוביים, הסכום רק גדל. אם הוא לא מפסיק לגדול, הטור מתבדר.
משווים טור לטור ידוע. אם הטור הידוע מתכנס והאיברים של הטור הנבדק קטנים ממנו, גם הוא יתכנס.
הטור ההרמוני (1, 1/2, 1/3, ...) מתבדר. טור שדומה לו יתכנס או יתבדר יחד איתו.
יש בדיקות שמסתכלות על החוזק של האיברים. אם הם קטנים מספיק לפי מבחן השורש או מבחן המנה, הטור יתכנס. אם לא, הוא יתבדר.
אם האיברים יורדים לאפס והסימנים מתחלפים, הטור ייתכנס. כלומר סכום כמו 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 ... כן מתכנס.
אם לוקחים ערכים מוחלטים ומקבלים טור מתכנס, אז הטור המקורי מתכנס בהחלט. יש גם טורים שמתכנסים רק בתנאי.
שאלות על מכפלות רבות אפשר להפוך לשאלות על סכומים באמצעות לוגריתם. לכן בוחנים את ההתכנסות של הלוגריתם.
תגובות גולשים