מטריצה חיובית

באלגברה ליניארית, מטריצה ממשית סימטרית A נקראת מטריצה חיובית אם התבנית הריבועית q(x)=x^T A x מקבלת ערכים לאילוליים, כלומר q(x)\ge 0 לכל וקטור ממשי x. אם q(x)>0 לכל x\neq 0 אז A נקראת חיובית לחלוטין (positive definite). תכונה מקבילה למטריצות מרוכבות היא הרמיטיות: מטריצה הרמיטית חיובית אם x^*Ax\ge 0 לכל וקטור מרוכב x, וחיובית לחלוטין אם x^*Ax>0 לכל x\neq 0. תנאים אלה שקולים לכך שכל הערכים העצמיים של המטריצה הם ממשיים וחיוביים. בדוגמה הפשוטה של מטריצה 1x1, A=(a), היא חיובית אם a\ge 0 וחיובית לחלוטין אם a>0.

אוסף המטריצות (החיוביות או החיוביות לחלוטין) סגור תחת חיבור וכפל בסקלר חיובי. מטריצה חיובית היא חיובית לחלוטין בדיוק כאשר 0 אינו ערך עצמי שלה, כלומר כאשר היא הפיכה. ההפכית של מטריצה חיובית לחלוטין גם היא חיובית לחלוטין. שני האוספים סגורים גם בפעולה A\mapsto PAP^t.

מכיוון שכל הערכים העצמיים חיוביים, נובעות גם כמה אי-שוויונות עבור מדדים כמו הדטרמיננטה והעקבה. בנוסף, אם A ו-B חיוביות אז \operatorname{tr}(AB)\ge 0. יש גם תכונה חשובה למכפלה האדמרית (Hadamard): אם M,N חיוביות אז גם M\circ N חיובית.

קריטריון שימושי לבדיקה האם מטריצה חיובית הוא קריטריון סילווסטר (Sylvester's criterion), שמבוסס על מינורים ראשיים.

לכל מטריצה C מתקיים A=C^*C חיובית. ההפך נכון גם הוא: כל מטריצה חיובית אפשר לפרק כ-A=C^*C באמצעות משפט הדיאגנוליזציה האוניטרית. במקרה הממשי אפשר לבחור C ממשית. כמו במספרים חיוביים, אם A חיובית אז קיימת גם מטריצה חיובית B כך ש-A=B^n לכל n טבעי מתאים.

במרחב מכפלה פנימית, אופרטור הרמיטי T נקרא חיובי אם (Tx,x)\ge 0 לכל x, וחיובי לחלוטין אם (Tx,x)>0 לכל x\neq 0. ההגדרות האלה תואמות להגדרה באמצעות מטריצות על \mathbb{C}^n או \mathbb{R}^n. למעשה, כל מכפלה פנימית אפשר לייצג על ידי מטריצה חיובית לחלוטין.

לכל פונקציה ממשית חלקה f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} יש מטריצת הסיאן H(f) של נגזרות שניות רציפות. אם בנקודה x_0 הגרדיאנט מתאפס, אז H(f) קובעת את סוג הקיצון. אם H(f) חיובית לחלוטין, אז x_0 הוא מינימום מקומי חזק. אם H(f) רק חיובית (סמי-חיובית), אז x_0 מינימום מקומי חלש. ההפכים לא תמיד נכונים.

ג'ייקובי הראה שמטריצה היא חיובית לחלוטין אם ורק אם כל המינורים הראשיים שלה חיוביים. לכך קשורים גם אי-שוויונות דטרמיננטה, כמו אי-שוויון פישר, שמקשר בין דטרמיננטות של מינורים ותמורות.

מטריצה הרמיטית נקראת שלילית אם ערכיה העצמיים שליליים, ושלילית לחלוטין אם הם שליליים ושונים מאפס. מטריצה שאינה חיובית ולא שלילית נקראת אינה מוחלטת (indefinite). לעיתים משתמשים גם במונח "מוגדרת חיובית" כתרגום ל-definite. במטריצות סטוכסטיות יש שימוש במונח "completely positive" עבור מטריצות שיש להן פירוק B^tB עם רכיבים לאילוליים.

באלגברת סי-כוכב אומרים שאיבר a חיובי אם קיים x כך ש-a=x^*x. באופן שקול, a חיובי אם וספקטרום שלו מורכב רק מערכים ממשיים אי-שליליים.

מטריצה היא טבלה של מספרים. מטריצה סימטרית זהה לצדדים דרך האלכסון. מטריצה חיובית היא כזו ש-x^T A x\ge 0 לכל וקטור x. זה אומר שהביטוי הזה לא יצא שלילי.

מטריצה חיובית לחלוטין היא חזקה יותר. היא מקיימת x^T A x>0 לכל וקטור שונה מאפס. כלומר תמיד מקבלים מספר חיובי.

מטריצה הרמיטית היא המקבילה למטריצה סימטרית, אבל למספרים מרוכבים. גם שם משתמשים בבדיקה x^*Ax. לכל המטריצות הללו יש "ערכים עצמיים" מיוחדים, והם חיוביים כאן.

אם כופלים מטריצה C ב-C^* (זו הפעולה של לקחת תרומה מצטברת), מקבלים מטריצה חיובית A=C^*C. וההפך נכון: לכל מטריצה חיובית יש פירוק כזה.

באנליזה בודקים נקודות קיצון של פונקציות. המטריצה של הנגזרות השניות קוראת הסיאן. אם הסיאן חיובי לחלוטין, זו עדות שנקודה היא מינימום טוב.

יש מבחנים לבדוק חיוביות, למשל לבדוק מינורים מיוחדים. גם יש חוקים לגבי מה קורה כשמכפילים או מחברים מטריצות חיוביות.

"שלילית" פירושה ערכים עצמיים שליליים. "אינה מוחלטת" אומר שיש גם חיוביים וגם שליליים. בסוף, גם באלגברה מתקדמת מגדירים איבר חיובי אם הוא כמו x^*x.