הוצאת שורש ריבועי

הצדה של "הוצאת שושר ריבועי" היא מציאת מספר x שמקיים x^2 = a, כאשר a ידוע.
דוגמה פשוטה: \sqrt{17956}=134. אפשר לחשב שורשים בעזרת מחשבון, או ידנית בדומה לחלוקה ארוכה.

בהוצאת שורש ממספר ממשי (מספר שאינו מרוכב) משתמשים בדרך כלל בשתי שלבים: מוצאים קירוב ראשון, ואז משפרים אותו.
קירוב פשוט ניתן על ידי הוצאת שורש של מספר שלם קרוב.
שיטת ניוטון-רפסון (שיטה איטרטיבית לשיפור קירובים) נותנת את הנוסחה t_+ = (t + a/t)/2.
השיטה מזרזת את הדיוק באופן משמעותי.
למספרים מרוכבים (a+bi) יש נוסחה שמפחיתה את הבעיה להוצאת שורש ממספר ממשי חיובי.

כדי לחשב שורש ידנית מחלקים את המספר לזוגות ספרות מהנקודה העשרונית לשני הכיוונים.
בכל שלב מוצאים ספרה a שמקיימת (20x + a)·a ≤ y, כאשר x הוא התוצאה הזמנית ו-y היא ה"שארית" המחושבת.
כך מקבלים ספרה אחרי ספרה של השורש.
לדוגמה, \sqrt{34927.8721} ≈ 186.89 לפי שיטה זו.

בחשבון מודולרי (עבודה עם שאריות) רוצים x כך ש-x^2 ≡ a (·) n. בעיה כזו חשובה בהצפנה.
נשתמש בפרוק לגורמים ובמשפט השאריות הסיני כדי לפצל את הבעיה לגורמים ראשוניים.
כאשר n=p^k, הבעיה דומה יותר להוצאת שורש מודולו p.
לא לכל מספר יש שורש מודולו n; בחלק מהמקרים יש בדיוק שני פתרונות, ובאחרים מספרים שונים של פתרונות.
יש תוצאות פשוטות במקרים מסוימים, למשל אם p ≡ 3 (mod 4) אז a^{(p+1)/4} נותן שורש מתאים.

בשדות סופיים (קבוצה סופית של מספרים עם חיבור וכפל) אפשר גם להוציא שורשים.
התנאים תלויים בגודל השדה ובמבנה הקבוצה הכפלית שלו.

כאשר עובדים בשדות מספרים (כמו Q[√5]), משתמשים בכלים אלגבריים כגון הנורמה.
במקרה של 301+96√5 הנורמה מחושבת ונגלה שהיא 211^2, וזה מוביל לכך שהשורש הוא ±(16+3√5).

לא כל מטריצה מאפשרת X^2=A. אך אם A חיובית (מטריצה עם ערכים שמבטיחים איזון), אפשר למצוא שורש על ידי לכסון אורתוגונלי והוצאת השורש של המטריצה האלכסונית.

מלמות כל הראשה:
כדאי לדעת שיש שיטות נומריות לדיוק מהיר, טכניקות אלגבריות בשדות שונים, ושיקולים מיוחדים בחשבון מודולרי ובמטריצות.

שורש ריבועי הוא מספר שכשמכפילים אותו בעצמו מקבלים את המספר המקורי.
למשל, 134×134 = 17956, לכן \sqrt{17956} = 134.

כדי למצוא שורש של מספר עשרוני מחלקים את הספרות לזוגות.
בכל שלב בודקים איזו ספרה נכנסת, וממשיכים ספרה אחרי ספרה.
דוגמה: \sqrt{34927.8721} ≈ 186.89.

בחלק מהמקרים עובדים עם שאריות. זה נקרא חשבון מודולו.
הדברים האלו חשובים גם בהצפנה, כדי לשמור סודות.

לפעמים מוצאים שורשים גם במספרים מיוחדים.
כאשר זה אפשרי, השורש יכול להיות מספר פשוט כמו 16+3√5.

למטריצה מיוחדת וחיובית אפשר למצוא שורש על ידי פירוק שלה למרכיבים פשוטים.