מאמצים ראשיים

מאמצים ראשיים הם מאמצי מתיחה או לחיצה הפועלים על מישור שבו מאמץ הגזירה אפס. הם חשובים בתאוריות הכשל, כי דרכם משווים ומחברים מאמצים שונים, כמו מתיחה ולחיצה עם מאמצי גזירה. מעגל מור הוא כלי גרפי שמדגים את המאמצים הראשיים וזווית המישורים בהם הם פועלים.

המתמטיקאי אוגוסטין לואי קושי (1789, 1857) הראה שבכל נקודה תחת מצב מאמצים כללי יש שני מישורים ניצבים שבהם מאמצי הגזירה מתאפסים. למישורים אלה קושי קרא מישורים ראשיים, ולמאמצים הניצבים להם קרא מאמצים ראשיים. אלה הם הערך המקסימלי והמינימלי של מאמץ המתיחה־לחיצה, כפי שרואים במעגל מור.

המאמצים הראשיים במצב דו־ממדי (X,Y) נקבעים מתוך המאמץ בכיוונים X ו‑Y ומהמאמץ הגזירה τ_xy. הנוסחאות הן:
σ1 = (σx+σy)/2 + sqrt(((σx-σy)/2)^2 + τ_xy^2)
σ2 = (σx+σy)/2 - sqrt(((σx-σy)/2)^2 + τ_xy^2)
הפרש בין σ1 ל‑σ2 קובע את מאמץ הגזירה המקסימלי: τ_max = (σ1-σ2)/2. הזווית θ של המישורים הראשיים ביחס לציר X נקבעת מיחס הגזירה להבדל בין σx ל‑σy: tan(2θ) = 2τ_xy/(σx-σy).

ניתן גם לכתוב את הזווית בעזרת מעוותים (שינויי צורה): tan(2θ)=γ_xy/(ε_x-ε_y). המעוות הגזירי המקסימלי הוא γ_θmax = ε_x - ε_y. בחומר אלסטי יש קשר בין מאמצים ומעוותים דרך חוק הוק הממושמע למצב הראשי:
(1-ν^2)σ1 = E(ε1 + ν ε2)
(1-ν^2)σ2 = E(ε2 + ν ε1)
כאשר E מודול האלסטיות ו‑ν הוא יחס פואה־סון.

בטנזור (מטריצה) של המאמצים מחפשים טרנספורמציה שמאפסת כל האיברים שאינם על האלכסון. זו לכסון מטריצות: P^{-1}AP = D. עמודות P הן וקטורים עצמיים של הטנזור, ואיברי האלכסון של D הם הערכים העצמיים. לכן מציאת המאמצים הראשיים היא בעיית ערכים עצמיים: (A-λI)v = 0.

הפולינום האופייני מתקבל מהדטרמיננטה |A-λI|=0 וכתוב כ־λ^3 - λ^2 T1 + λ T2 - T3 = 0. ההחשיבות של T1,T2,T3 היא שהן אינוואריאנטים, לא משתנות עם שינוי מערכת הצירים. הם מוגדרים כך:
T1 = σ_xx + σ_yy + σ_zz (העקבה)
T2 = סכום מינורי האלכסון הראשי פחות ריבועי הגזירה
T3 = הדטרמיננטה בתצורה הראשית.
מאמצים ראשיים נקבעים חד־ערכית בנקודה, כי הערכים העצמיים הם פתרון הפולינום הזה.

מאמצים ראשיים הם הכוחות הפנימיים על מישור שבו הגזירה אפס. גזירה היא כוח שמנסה להזיז שכבות אחת על השנייה.

לכל נקודה בגוף יש שני מישורים ניצבים כאלה. הם נקראים מישורים ראשיים. בערכים האלה הכוח נמתח הכי הרבה או נלחץ הכי הרבה.

מישהו בשם קושי גילה את הרעיון הזה. כדי להבין את המאמצים משתמשים בשרטוט שנקרא מעגל מור. השרטוט מראה מי הם המאמצים הראשיים ומה הזווית של המישור.

במצב עם שני כיוונים (X ו‑Y) מחשבים שני מאמצים ראשיים מהלחצים בכיוונים אלה ומהגזירה ביניהם. ההפרש ביניהם אומר מה גודל הגזירה המקסימלי.

מעוות פירושו שינוי בצורת הגוף. גם המעוותים משפיעים על הזווית של המישורים הראשיים. בחומרים אלסטיים יש קשר בין מאמצים למעוותים לפי חוק הוק. חוק הוק עוזר לחשב כמה החומר יתעוות תחת עומס.

בטנזור, טבלה של כל המאמצים, מחפשים דרך להפוך את הטבלה לאלכסונית. האלכסון מראה את המאמצים הראשיים. את זה עושים בעזרת חישוב שנקרא מציאת ערכים עצמיים. ערכים עצמיים הם המספרים שמראים את המאמצים החשובים ביותר.

יש שלושה מספרים מיוחדים מהטנזור, שנקראים אינוואריאנטים. הם לא משתנים כשמחליפים את מערכת הצירים. מספרים אלה עוזרים למצוא את המאמצים הראשיים.