מטריצת סיבוב

מטריצת סיבוב היא מטריצת מעבר (Direct Cosine Matrix, DCM) שמשנה את כיוון וקטור בלי לשנות את אורכו.

מקובל לסמן מטריצות סיבוב באותיות M, R או C. נהוג להציב ספרה תחתונה ועליונה לתיאור מערכות הצירים, למשל C_a^b מסמנת סיבוב ממערכת הצירים a ל-b. הקשר בין וקטורים הוא: v^b = C_a^b v^a. אם מרכיבים סיבוב דרך מערכת b מתקבל C_a^c = C_b^c C_a^b. אפשר גם לפרש מטריצת סיבוב כפעולה בתוך אותה מערכת צירים: v_2^a = C^a v_1^a.

מטריצת סיבוב היא מטריצה אורתוגונלית ובעלת דטרמיננטה 1. הדבר אומר שהיא שומרת על אורכי וקטורים ועל הזוויות ביניהם (שמרת מכפלת פנימי). עבור מטריצה M מתקיים M^{-1} = M^ op (ההיפוך שווה לשוויון הטרנספוזה). כמו כן ניתן לייצג מטריצת סיבוב כאקספוננציאל של מטריצה סקיו-סימטרית: M = exp(A) עם פתיחת טיילור.

במישור אפשר להגדיר מטריצת סיבוב על ידי זווית θ. המטריצה היא R(θ) = [[cos θ, -sin θ], [sin θ, cos θ]]. זווית חיובית מסובבת נגד כיוון השעון (counterclockwise). המטריצה ההופכית היא R(-θ) = [[cos θ, sin θ], [-sin θ, cos θ]]. דוגמאות נתונות במקור ל-R(90°), R(180°) ו-R(270°).

בתלת־ממד יש מטריצות סיבוב סביב צירים x,y,z: R_x(φ), R_y(θ), R_z(ψ). לדוגמה R_x(φ) = [[1,0,0],[0,cosφ,-sinφ],[0,sinφ,cosφ]]. לכל אחת מהן יש גם ייצוג כאקספוננציאל של מטריצה המתאימה. כל סיבוב כללי ניתן לבנות כהרכבה של סיבובים סביב הצירים האלה, למשל R = R_z(ψ) R_y(θ) R_x(φ). סדר הסיבובים משנה את התוצאה, ולכן שינוי סדר עם אותן זוויות יכול לתת סיבוב שונה.

מטריצה כזו תמיד מסובבת סביב וקטור עצמי (eigenvector) בעל ערך עצמי 1, והערכים העצמיים האחרים הם e^{iθ} ו-e^{iθ} בזוג קומפלקסי. עקבת המטריצה קשורה לזווית: tr(R) = 1 + 2 cos θ.

באמצעות פונקציות טריגונומטריות הפוכות אפשר לחלץ זוויות אוילר (Euler angles) ממטריצת סיבוב נתונה. לדוגמה, עבור סדר z-y-x ניתן להפיק את הזוויות המתאימות מתוך רכיבי המטריצה.

מטריצת סיבוב היא כלי מתמטי שמסובב חצים (וקטורים) בלי לשנות את האורך שלהם.

כבר נהוג לקרוא לה C או R. אם יש חץ במערכת צירים a ומעבירים אותו למערכת b כותבים v^b = C_a^b v^a. כך מקבלים את אותו חץ לפי צירים חדשים.

מטריצת סיבוב שומרת על אורך החץ ועל הזוויות בין החצים.
ההיפוך שלה פשוט להיפך (הטרנספוזה). היא נראית מסודרת ולא מעוותת את הצורה.

על המישור כל סיבוב מוגדר על ידי זווית θ. זווית חיובית מסובבת נגד כיוון השעון (שמאלה). לדוגמה, סיבוב של 90° משנה את הכיוון של נקודה כך שהיא מצביעה בכיוון חדש.

בתלת־ממד אפשר לסובב סביב ציר ה-x, ה-y או ה-z. סיבוב גדול אפשר לבנות מרצף של סיבובים סביב הצירים האלו. הסדר שבו עושים את הסיבובים משנה את התוצאה.

אפשר גם למצוא שלוש זוויות שנקראות זוויות אוילר, שמייצגות את אותו הסיבוב.