מרחב הילברט

מרחב הילברט הוא מרחב וקטורי שמצויד במכפלה פנימית, והשלם ביחס למטריקה שמקורה בה. מכפלה פנימית היא כלל שמקשר בין שני וקטורים ומאפשר להגדיר אורך וזווית. המטריקה הנפוצה היא d(x,y)=\sqrt{\langle x-y,x-y\rangle}, כלומר מרחק הוא שורש של המכפלה הפנימית של ההפרש.

מרחבי הילברט נקראים על שם דויד הילברט. הם חשובים באנליזה פונקציונלית. במרחבים אלו אפשר לבצע פעולות גאומטריות כמו הטלות ושינוי בסיס גם כשמדובר בממדים אינסופיים. המושגים של טור פורייה ופולינומים אורתוגונליים ניתנים להכללה במבנה זה. מרחבי הילברט גם מרכזיים בניסוח מכניקת הקוונטים.

מרחב הילברט הוא מרחב וקטורי מעל לשדה ממשי או מרוכב, עם מכפלה פנימית שמולידה מטריקה שבה המרחב שלם. משמעות "שלם" היא שכל טור קושור שמתכנס לפי הנורמה מגיע לאיבר במרחב.

L^2(X) הוא דוגמה חשובה למרחב הילברט. זהו אוסף הפונקציות f שמקיימות \int_X |f(t)|^2 d\mu < \infty, כלומר הן "אינטגרביליות לבג בריבוע" (המשמעות: מרובעות שלהן ניתנות לאינטגרל לפי מידת לבג). נגדיר על מרחב זה מכפלה פנימית כ-\langle f,g\rangle=\int_X f(t)\overline{g(t)}\,dt, כאשר \overline{g(t)} הוא הצמוד המרוכב של g(t).

יש לשים לב שאיברים של L^2 הם מחלקות שקילות של פונקציות. שתי פונקציות שמחליפות זו את זו רק על קבוצה ממידה אפס נחשבות שוות (a.e. = almost everywhere). זאת מכיוון שנורמה ומכפלה פנימית לא מבחינות בשינוי על קבוצות כאלו.

מרחב R^n הוא מרחב הילברט סטנדרטי. לעומת זאת Q^n, כשטווח הסקלרים הוא השדה הרציונלי, אינו מתאים כיוון שאינו שלם ביחס לנורמה הרגילה.

אם H_1 ו-H_2 הם מרחבי הילברט, ניתן לבנות את H_1\oplus H_2 בתור המכפלה הקרטזית. החיבור והכפל בסקלר נעשים נקודתית. המכפלה הפנימית בסכום היא סכום של המכפלות הפנימיות בכל מרחב: \langle(x_1,x_2),(y_1,y_2)\rangle=\langle x_1,y_1\rangle_{H_1}+\langle x_2,y_2\rangle_{H_2}.

הגדרה זו מסונפת למשפחות גדולות יותר של מרחבים באמצעות תנאי ריבועי-סכום על הנורמות. מרחב שמתקבל מכיל את כל ה-H_i כתתי-מרחבים אורתוגונליים.

קיים גם המושג סכום ישר פנימי: אם בתתי-מרחבים סגורים ו"אורתוגונליים" ה-span שלהם צפוף ב-H, אז H איזומורפי לסכום הישר החיצוני. לכל מרחב כזה יש הטלות אורתוגונליות P_i, שהן אופרטורים חסומים, הרמיטיים ואידמפוטנטיים, והן מקיימות P_iP_j=0 עבור i\ne j.

אם M הוא תת-מרחב סגור של H, אז המרחב המנה H/M מצויד במבנה של מרחב הילברט. נשתמש בהטלה האורתוגונלית P על המשלים המצויין M^{\bot} ונגדיר \langle x+M,y+M\rangle=\langle P(x),P(y)\rangle_H. הנורמה של המחלקה היא \|x+M\|=d(x,M)=\inf_{m\in M}\|x-m\|. כך מקבלים מרחב איזומטרי ל-M^{\bot}.

מרחב הילברט דומה לחדר שבו יש וקטורים. מכפלה פנימית היא כלי שמחשב אורך וזווית בין וקטורים. המרחב צריך להיות "שלם". שלם פירושו שכל סדרה שמתקרבת למשהו אכן מגיעה לחלק במרחב.

מרחבי הילברט חשובים כי הם מאפשרים לעשות גאומטריה גם בממדים רבים מאוד. הם משמשים בנושאים כמו פורייה ומכניקת הקוונטים.

זהו מרחב וקטורי מעל למספרים הממשיים או המרוכבים, שיש בו מכפלה פנימית שמולידה מרחק. המרחק נמדד מהאורך של ההפרש בין שני וקטורים.

L2 הוא מרחב של פונקציות שניתן "לחשב עליהן ריבוע ולהשלים". אם מרובעת של פונקציה ניתנת לאינטגרל וסכומה סופי, אז היא ב-L2. המכפלה הפנימית שם היא אינטגרל של מכפלת הפונקציות, כאשר אחד מהן הופך לצמוד המרוכב אם צריך.

שימו לב: פונקציות שמוחלפות זו בזו רק על קבוצה זעירה שאינה נחשבת (קבוצה במידה אפס), נחשבות לאותה פונקציה במרחב זה.

אפשר לשלב שני מרחבים יחד ליצירת מרחב חדש בשם סכום ישר. הנקודות שם הן זוגות של נקודות מהמרחבים המקוריים. המכפלה הפנימית בסכום היא סכום המכפלות הפנימיות של הרכיבים.

אם יש תת-מרחב סגור M בתוך H, אפשר לבנות מרחב חדש של מחלקות שקילות H/M. משתמשים בהטלה אורתוגונלית כדי להגדיר שם מכפלה פנימית. נורמת מחלקה נמדדת כמרחק לנקודות ב-M.