מידה משותפת היא תכונה שמאפשרת להשוות קטעים, מספרים או מבנים מתמטיים.
לקטעים a ו-b המשמעות היא שקיים קטע z כך שגם a וגם b ניתנים להרכבה ממספר שלם של עותקים של z. במילים אחרות, היחס בין אורכי הקטעים הוא מספר רציונלי. המושג נזכר כבר ב"יסודות" של אוקלידס.
באופן דומה, שני מספרים ממשיים הם בעלי מידה משותפת אם היחס ביניהם רציונלי. לכן קטעים הם בעלי מידה משותפת אם ורק אם אורכיהם הם בעלי מידה משותפת כמספרים.
למושג יש משמעות בפונקציות מחזוריות: אם a ו-b הם מחזורים של אותה פונקציה, ניתן לייצג שניהם באמצעות מחזור קטן יותר בדיוק כאשר הם בעלי מידה משותפת.
יש גם דוגמאות של חוסר מידה משותפת. למשל במשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים היחס בין הניצב ליתר הוא השורש הריבועי של 2, והמספר הזה אינו רציונלי. לכן אין מידה משותפת בין הניצב ליתר.
בתורת החבורות אומרים ששתיים תת־חבורות G_1 ו-G_2 של חבורה G הן בעלות מידה משותפת אם לחיתוך G_1\cap G_2 יש אינדקס סופי בכל אחת מהן. "אינדקס סופי" כאן אומר שהחיתוך נמצא שם מספיק פעמים כדי לכסות את כל כל אחת מתת־החבורות במחלקות סופיות.
המשמעות של זה עבור המספרים נראית דרך התת־חבורות הציקליות \{n a: n\in\mathbb{Z}\} ו-\{n b: n\in\mathbb{Z}\}. מקיומה של מידה משותפת נובעת דמוי־איזומורפיות: יש תתי־חבורות מאינדקס סופי שהן איזומורפיות זו לזו. עם זאת ההפך אינו נכון בדרך כלל.
לחבורות שנוצרות סופית ושיש להן מידה משותפת יש גרפי קיילי שקואזי-איזומטריים (משמעות: המבנים הגאומטריים שלהם דומים בגודל גדול). אבל יש חבורות קוואזי-איזומטריות שאינן בעלות מידה משותפת.
הגדרה מקבילה קיימת לתת־מודולים: M_1 ו-M_2 הם בעלי מידה משותפת אם החיתוך שלהם בעל אינדקס סופי בכל אחד מהם. דוגמה אלגברית היא: אם R הוא חוג דדקינד, אז שני תתי־מודולים מדרגת מקסימום ב-R^n הם בעלי מידה משותפת.
גם במרחבים טופולוגיים יש גרסה: שני מרחבים בעלי אותו מכסה אוניברסלי הם בעלי מידה משותפת אם יש להם כיסוי משותף בעל אינדקס סופי מעל כל אחד מהם. אם חבורה G פועלת על מרחב פשוט־קשר X, אז המנות X/G_1 ו-X/G_2 הן בעלי מידה משותפת אם ורק אם G_1 היא בעלת מידה משותפת עם תת־חבורה צמודה ל-G_2. בהקשרים גאומטריים משתמשים לפעמים במונח זה גם במשמעות מוחלשת, שהיא חלשה יותר מההגדרה על תתי־חבורות.
מידה משותפת אומרת ששני קטעים או שני מספרים "מתאימים" לאותו חלק קטן.
זה קורה אם אפשר לבנות כל קטע מעותקים של קטע קטן אחד. אז היחס בין האורכים הוא רציונלי. רציונלי = אפשר לכתוב כמנה של שני מספרים שלמים, כמו 1/2.
גם מספרים הם בעלי מידה משותפת כשיחסם הוא רציונלי.
דוגמה: במשולש ישר-זווית ושווה־שוקיים יחס הניצב ליתר הוא השורש הריבועי של 2. השורש הריבועי של 2 אינו רציונלי, לכן אין להם מידה משותפת.
הרעיון שימושי גם בפונקציות מחזוריות. אם שני מחזורים הם בעלי מידה משותפת, אפשר למצוא מחזור קטן שמסביר את שניהם.
הרעיון הזה מופיע גם בתחומים אחרים במתמטיקה, כמו חבורות (קבוצה עם חוק חיבור או כפל) ומודולים (מבנים דומים לווקטורים).
תגובות גולשים