מינור (אלגברה ליניארית)

באלגברה ליניארית, מינור של מטריצה ריבועית הוא המטריצה שמתקבלת לאחר מחיקת מספר שורות ומספר עמודות זהה. את המטריצה שמתקבלת ממחיקת השורה ה‑i והעמודה ה‑j מסמנים A[i,j] או A_{ij}.

לעיתים מגדירים מינור כדטרמיננטה של המטריצה הקטנה. דטרמיננטה היא מספר שמחשבים ממטריצה ומספק תכונות חשובות שלה.

לדוגמה, אם A = [[1,4,7],[3,0,5],[-1,9,11]], אז המינור A_{13} הוא המטריצה [[3,0],[-1,9]]. הדטרמיננטה שלה שווה 27.

אם השורה והעמודה שנמחקות הן בעלי אותו אינדקס, המינור נקרא מינור ראשי. עבור אותה מטריצה, המינורים הראשיים הבסיסיים הם A_{11}, A_{22} ו‑A_{33}, שכל אחד מהם מטריצה 2×2 כפי שמוצג למעלה.

מינורים משמשים במספר כלים חשובים. למשל, בנוסחת קרמר הם מופיעים בנוסחה לחישוב מטריצה הופכית: (A^{-1})_{ij} = ((-1)^{i+j} det(A[j,i])) / det(A). בנוסף, משתמשים בהם בפיתוח לפי מינורים לחישוב דטרמיננטה.

מטריצה היא טבלה של מספרים. מינור הוא הטבלה הקטנה שמתקבלת אחרי שמוחקים שורה אחת ועמודה אחת. דטרמיננטה הוא מספר שמקבלים מהמטריצה.

לדוגמה, אם A = [[1,4,7],[3,0,5],[-1,9,11]], המינור A_{13} הוא [[3,0],[-1,9]]. המספר (הדטרמיננטה) של הטבלה הקטנה הזאת הוא 27.

כאשר מוחקים שורה ועמודה עם אותו מספר, זה נקרא מינור ראשי. המינורים עוזרים לחשב גם מטריצה הופכית וגם חסרונות של מטריצה, דרך חישובים שמחברים מינורים יחד.