מסילה (מתמטיקה)

מסילה היא פונקציה רציפה מקטע מספרי אל מרחב טופולוגי. "פונקציה רציפה" פירושה שאין קפיצות ושכל ערך קטן במקור נותן ערך קרוב בתמונה. מסילות עוזרות להבין מבנה המרחב, למשל מרכיבי הקשירות שמחוברים במסילות, או באמצעות החבורה היסודית (קבוצה שמתארת לולאות עד שקילה מתמשכת). תחום שמחקר שינויים רציפים בין מסילות נקרא תורת ההומוטופיות.

אפשר לדמיין מסילה כטיול בזמן: לנקודות על הקטע נתייחס כזמן, ולנקודות על המסילה כמיקום בזמן זה. דוגמה מוכרת היא הליכה מסביב למעגל היחידה. זו מסילה שבלולאה, כי התחלה וסוף זהים. לולאה (מסילה סגורה) אפשר להגדיר גם כפונקציה ממעגל היחידה אל המרחב.

מסילה שנכנסת לכל נקודה רק פעם אחת (אולי פרט לקצוות) נקראת מסילה פשוטה. ללולאות פשוטות יש תכונה חשובה: משפט העקום של ז'ורדן אומר שהן מחלקות את המישור לחלק פנימי וחלק חיצוני. ההוכחה לזה אינה פשוטה.

מסילה נקראת דיפרנציאבילית אם אפשר לחשב נגזרת שלה בכל נקודה באופן רציף. "דיפרנציאבילית למקוטעין" אומרת שנגזרת קיימת בכל מקום חוץ ממספר סופי של נקודות.

באנליזה מרוכבת יש חשיבות למספר הפעמים שלולאה מקיפה נקודה מחוץ לה. מספר זה נקרא האינדקס או "מספר העטיפה". באופן אינטואיטיבי הוא סופר כמה פעמים הלולאה עושה סיבוב סביב הנקודה. את ההגדרה המדויקת נותנים דרך אינטגרל סביב המסילה, והאינדקס תמיד יוצא מספר שלם. כיוון הסיבוב משפיע על הסימן: סיבוב נגד כיוון השעון חיובי, והפוך יהיה שלילי.

שרשור מסילות הוא בניית מסילה חדשה משתי מסילות קיימות שמתחברות אחת לשנייה. אם המסילה השנייה מתחילה במקום בו הראשונה מסתיימת, אפשר "להדביק" אותן ולקבל מסילה ארוכה יותר.

במרחב מטרי, האורך של מסילה הוא האינפימום (הגבול התחתון) של סכומי המרחקים בין נקודות עוקבות בסדר לאורך המסילה, ולכל בחירת חלוקה סופית של נקודות עליה. רעיון זה קשור להיסטוריה של החשבון האינפיניטסימלי, שהוצג במתכונתו המודרנית בתקופתם של ניוטון ולייבניץ.

מסילה היא דרך רציפה שמחברת נקודות. "רציפה" אומרת שאין קפיצות בדרך.

אפשר לחשוב על מסילה כטיול בזמן. כל רגע בעטיפה מתאים למקום בדרך. דוגמה פשוטה היא הליכה סביב מעגל.

לולאה היא מסילה שהתחלה וסוף הם אותו מקום. מסילה פשוטה לא חותכת את עצמה.

אם לולאה פשוטה סוגרת עיגול, היא מחלקת את המישור לחלק פנימי וחיצוני.

דיפרנציאבילית פירושה שאפשר לדבר על מהירות ההליכה לאורך המסילה.

אינדקס הוא כמה פעמים הלולאה מסתובבת סביב נקודה שמחוץ לה. אפשר גם לחבר שתי מסילות כשקצה אחת נפגש בקצה השנייה.

אורך מסילה הוא המספר הקטן ביותר הגדול מסכום קטעים קצרים לאורך הדרך. רעיון זה קשור לחשבון, שעליו חשבו ניוטון ולייבניץ.