מספר אלגברי

מספר אלגברי הוא מספר ממשי או מרוכב שהוא שורש של פולינום שממקדמיו רציונליים. שורש פירושו ערך של x שהופך את הפולינום לאפס. מקדמים רציונליים הם מספרים שניתנים לכתיבה כשברים שלמים.

כל מספר רציונלי הוא אלגברי, כי הוא פותר משוואה פשוטה מהצורה x−q=0. מצד שני, מספרים שאינם אלגבריים נקראים טרנסצנדנטיים; דוגמאות ידועות הן e ו-π.

היחס הזהב (1+√5)/2 הוא אלגברי, כי הוא שורש של פולינום מדרגה שנייה (x^2−x−1). גם מספרים מרוכבים כמו 1+i אלגבריים, מאחר ויש להם פולינום מתאים שמעניק להם שורש.

אוסף כל המספרים האלגבריים מהווה שדה מתמטי. פירוש הדבר שאפשר לחבר, לחסר, לכפול ולחלק (לא באפס) ולהישאר בתוך הקבוצה. השדה הזה גם סגור אלגברית: שורשים של פולינומים עם מקדמים אלגבריים הם עצמם אלגבריים.

קבוצת המספרים האלגבריים היא בת־מנייה (יש לה מונה סופי של איברים בסדר מספרי), אבל המשלים שלה, כלומר המספרים הטרנסצנדנטיים, אינם בת־מנייה. קנטור הוכיח את התוצאה הזו, ולכן מבחינה גדלים, רוב המספרים הם טרנסצנדנטיים. עם זאת, קשה בדרך כלל להוכיח שמספר נתון הוא טרנסצנדנטי; ההוכחות עבור e ו-π מורכבות.

מספר שלם אלגברי הוא שורש של פולינום מתוקן (כלומר המקדמה למעלה שווה 1) עם מקדמים שלמים. מספרים אלה סגורים לחיבור, חיסור וכפל, ולכן יוצרים חוג, והם מזכירים במאפייניהם את המספרים השלמים הרגילים.

על ההכללה לאיברים אלגבריים בשדות ראו ערך איבר אלגברי.

מספר אלגברי הוא מספר שמקיים ביטוי מתמטי שנקרא פולינום. פולינום הוא ביטוי עם חזקות של x.

שורש זה מספר שמגרע את הביטוי לאפס. מקדמים רציונליים הם מספרים שאפשר לכתוב כשבר.

כל מספר רציונלי הוא אלגברי. יש מספרים שלא אלגבריים. אלה נקראים טרנסצנדנטיים. דוגמאות מפורסמות הן e ו-π.

יחס הזהב הוא דוגמה אלגברית מפורסמת. הוא מופיע כששורש של פולינום מדרגה שנייה. גם המספר המרוכב 1+i הוא אלגברי.

יש פחות מספרים אלגבריים מאשר כל המספרים. זאת הוכיח מתמטיקאי בשם קנטור. לכן רוב המספרים הם טרנסצנדנטיים. אבל קשה להראות שמספר מסוים הוא טרנסצנדנטי.

מספר שלם אלגברי הוא שורש של פולינום מיוחד. בפולינום כזה המקדמים הם מספרים שלמים. אלה דומים במאפייניהם למספרים השלמים הרגילים.

אפשר לדבר על רעיון זה גם בשדות מתמטיים אחרים, כמו איבר אלגברי.