מספר משוכלל הוא מספר טבעי ששווה לסכום כל המחלקים הטבעיים שלו חוץ ממנו עצמו. דוגמאות מוכרות הן 6 (=1+2+3), 28, 496 ו-8128. ערכים אלה שימשו בעבר גם לנומרולוגיה, וכיום משתמשים בהם גם בבדיקות חישוב וראשוניות.
היוונים הקדמונים ידעו על ארבעת המספרים הראשונים. אוקלידס זיהה תבנית פשוטה: כל מספר מהצורה 2^{n-1}(2^n-1) הוא משוכלל, כאשר 2^n-1 הוא ראשוני. "ראשוני" פירושו מספר שמתחלק רק ב-1 ובעצמו.
המספר המשוכלל החמישי, 33,550,336, התגלה ב-1356. מספרים ראשוניים מן הצורה 2^n-1 נקראים מספרי מרסן, על שם Marin Mersenne. אוילר הראה שכל מספר משוכלל זוגי חייב להיות מהצורה של אוקלידס.
השאלה האם קיים מספר משוכלל אי-זוגי נותרת פתוחה. אם כזה קיים, הוא חייב להיות מאוד גדול ולעמוד בדרישות מחמירות לגבי גורמיו הראשוניים.
מחשבים שימשו לחיפוש מאז 1952. החיפוש נמשך בעזרת מחשבי-על וחישוב מבוזר, ונכון ל-2023 ידועים 51 מספרים משוכללים.
אם p=2^n-1 הוא ראשוני, אז המספר 2^{n-1}p הוא משוכלל. אפשר לראות זאת על ידי חישוב כל המחלקים של המספר (למעט המספר עצמו) וסכימם. סכום החזקות של 2 עד מדרגה מסוימת הוא 2^{m+1}-1, ומשתמשים בזה כדי להראות שהסכום באמת שווה למספר.
פונקציית סכום המחלקים, סיגמא (σ), מחברת את כל המחלקים של n. אז n משוכלל אם σ(n)=2n. אם σ(n)<2n קוראים לו חסר, ואם σ(n)>2n קוראים לו שופע.
אוילר הוכיח שכל מספר משוכלל זוגי מוגדר על ידי המבנה 2^{n-1}(2^n-1) עם 2^n-1 ראשוני. כלומר כל המשוכללים הזוגיים נוצרים משילוב של חזקה של 2 ומספר מרסן ראשוני.
לא ידוע אם קיים אף מספר משוכלל אי-זוגי. אם קיים, ידוע שהוא חייב להכיל לפחות 1,500 ספרות ולעבור מגבלות חזקות על גורמיו הראשוניים. המחקר על ההשערה הזו ממשיך עד היום.
מספר משוכלל הוא מספר ששווה לסכום כל המספרים שמחלקים אותו חוץ ממנו עצמו. דוגמאות ידועות הן 6, 28 ו-496.
היוונים הקדמונים ידעו על מספרים כאלה. אוקלידס מצא דרך לבנות חלק מהם. הוא אמר: אם 2^n-1 הוא מספר ראשוני, אז 2^{n-1}(2^n-1) הוא משוכלל. "ראשוני" זה מספר שמתחלק רק ב-1 ובעצמו.
מאוחר יותר קראו למספרים מסוג 2^n-1 על שם מרסן. אוילר הראה שכל המספרים המשוכללים הזוגיים נבנים בדרך הזו.
מחשבים מחפשים מספרים משוכללים מאז 1952. עד 2023 מצאו 51 כאלה.
עדיין לא יודעים אם יש מספר משוכלל שאינו זוגי. אם יש כזה, הוא יהיה מאוד גדול.
תגובות גולשים