מרחב האוסדורף

ביטופולוגיה, מרחב האוסדורף הוא מרחב טופולוגי שבו אפשר להפריד כל שתי נקודות על ידי קבוצות פתוחות זרות.
זה אומר: אם x ו-y שונות, קיימות סביבות פתוחות U של x ו-V של y כך ש-U ו-V לא חופפות.
השם מגיע מהמתמטיקאי פליקס האוסדורף, ומרחבי האוסדורף נקראים גם T_2.

כל מרחב מטרי, כלומר מרחב עם מרחק בין נקודות, הוא מרחב האוסדורף. מרחבים מטריים הם אפילו נורמליים, כלומר הם מקיימים כללי הפרדה חזקים יותר.
בניגוד לכך, הטופולוגיה הקו-סופית על קבוצה אינסופית אינה האוסדורף: כל קבוצה פתוחה לא-ריקה מכילה כמעט את כל הנקודות, ולכן לא ניתן למצוא שתי קבוצות פתוחות לא-ריקות וזרות.

במרחב האוסדורף כל נקודה היא קבוצה סגורה. זאת כי לכל נקודה אחרת אפשר למצוא פתוחה שאינה מכילה את הנקודה, ואיחוד של פתוחות כאלה הוא המשלים שלה.
עוד תכונה חשובה: סדרות במרחב האוסדורף יכולות להתכנס רק לגבול יחיד. אם סדרה הייתה מתכנסת ל-x ול-y שונים, אז לא ניתן היה למצוא סביבות זרות של x ו-y שישאירו את הסדרה באחד מהן בלי לדרוס את השנייה.
במרחבים שאינם האוסדורף סדרה עלולה להתכנס ליותר מנקודה אחת. דוגמה בולטת לכך היא הטופולוגיה הקו-סופית: סדרה שכל האיברים שלה שונים מתכנסת לכל נקודה, כי כל פתוחה כוללת כמעט את כל האיברים.

קיימות גם תכונות קשורות עם שמות אחרים: כל מרחב האוסדורף הוא מרחב-KC, כל KC הוא מרחב-US, וכל מרחב-US מקיים את תכונת ההפרדה T1. השוני ביניהן מראה שלסדרות בלבד אין תמיד כוח להסביר את כל המבנה הטופולוגי, ולכן משתמשים בהכללות כמו רשתות (nets).

מרחב האוסדורף הוא מרחב טופולוגי (קבוצה שבה אומרים אילו קבוצות פתוחות).
אם יש שתי נקודות שונות, אפשר למצוא שתי קבוצות פתוחות שונות שלא חופפות.
השם בא מהמתמטיקאי פליקס האוסדורף.

מרחבים מטריים הם האוסדורף. מרחב מטרי הוא מקום שבו יש מרחק רגיל בין נקודות.
הטופולוגיה הקו-סופית על קבוצה אינסופית אינה האוסדורף. שם, כל פתוחה שאינה ריקה מכילה כמעט את כל הנקודות.

במרחב כזה כל נקודה היא סגורה. זאת אומרת שהמשלים שלה הוא קבוצה פתוחה.
סדרות במרחב האוסדורף יכולות להתכנס רק לנקודה אחת.
אם אין הפרדה, אפשר למצוא סדרה שמתכנסת ליותר מנקודה אחת.
לדוגמה, בטופולוגיה הקו-סופית סדרה שכל אבריה שונים תתכנס לכל נקודה, כי פתוחות כוללות כמעט את כל האיברים.
יש גם שמות למרחבים קרובים ברעיון, כמו KC ו-US, והם קשורים זה בזה מבחינת גבולות וסגירות.