ריצוף (גאומטריה)

בגאומטריה, ריצוף הוא כיסוי של משטח, או של מרחב מממד גבוה יותר, באריחים מאותו סוג. כיסוי פירושו שכל נקודה במשטח מכוסה בדיוק על ידי אריח אחד.

ריצופים שונים זה מזה לפי הקבוצה שמכסים, במספר סוגי האריחים המותרים ובמחזוריות, כלומר אם התבנית חוזרת בצורה סדירה או לא.

הדוגמה הפשוטה ביותר היא כיסוי של המישור באריחים ריבועיים, כמו משבצות במחברת.

ריצופים חשובים בגאומטריה ובטופולוגיה אלגברית, כי הם מאפשרים ללמוד על תכונות של המרחב X מתוך התכונות של הכיסוי.

לכל ריצוף שייכת חבורת סימטריות G, קבוצת ההזזות והסיבובים ששומרות על מראה הריצוף. אם החבורה פועלת באופן טרנזיטיבי, כלומר אפשר להעביר כל אריח לכל אריח אחר באמצעות פעולה מהחבורה, אז האריחים חופפים. במצב כזה אפשר לראות את האריחים כמקבילות למרחב המנה X/G, שנוצר כשמזהים נקודות שקושרות אותן פעולות.

קשרים כאלה הם נקודת המוצא של תוכניתו של פליקס קליין מסוף המאה ה-19: ללמוד מרחבים דרך החבורות הפועלות עליהם ולהיפך.

ריצוף הוא כיסוי של שטח באריחים דומים. כיסוי אומר שכל מקום מכוסה על ידי אריח אחד.

יש סוגים שונים של ריצוף. הם שונים בכמה סוגי אריחים ובאיך שהתבנית חוזרת.

דוגמה פשוטה: ריבועים שמכסים את המישור, כמו דף משבצות.

לריצוף יש "קבוצת סימטריות". זו קבוצת הזזות וסיבובים ששומרים על התבנית.

אם אפשר להעביר כל אריח לכל אריח אחר בעזרת הזזה או סיבוב, האריחים זהים.

רעיון כזה עזר למדען פליקס קליין ללמוד על צורות ומרחבים.