מרחב מנה

מרחב מנה הוא מרחב טופולוגי שמתקבל על ידי "צמצום" של מרחב אחר בעזרת פונקציה, יחס שקילות או פעולה של חבורה.


ניתן לבנות טופולוגיה על קבוצה Y בעזרת פונקציה עלית f: X → Y מתוך מרחב טופולוגי (X, τ_X).
מגדירים τ_Y = { U ⊂ Y : f^{-1}(U) ∈ τ_X }.
טופולוגיה זו נקראת טופולוגיית המנה, ופונקציה כזו נקראת פונקציית מנה (מפה שמקבלת כל נקודה מקבוצה אחרת).
באופן זה מכריחים את f להיות רציפה: זוהי הטופולוגיה העשירה ביותר על Y שעבורה f רציפה.
אם X ו‑Y כבר מרחבים טופולוגיים ו‑f רציפה, הטופולוגיה הנתונה על Y עלולה להיות דלה יותר (פחות קבוצות פתוחות) מטופולוגיית המנה.
אם X קומפקטי (צורה מוגבלת במובן טופולוגי) ו‑Y האוסדורף (ניתן להפריד נקודות עם ערוצים פתוחים), וכל f היא רציפה ועל (סורייקטיבית), אז הטופולוגיה של Y היא טופולוגיית המנה עבור f.

אם על X מוגדר יחס שקילות R, מרחב המנה X/R הוא קבוצת מחלקות השקילות.
הטופולוגיה על X/R נקבעת דרך פונקציית ההטלה p: X → X/R, p(x) = [x].
מגדירים τ_{X/R} = { U ⊂ X/R | p^{-1}(U) ∈ τ_X }.

מרחב מנה נוצר כשממזגים נקודות במרחב.


לוקחים מרחב X שיש בו רעיון של "פתוח" (טופולוגיה - אוסף קבוצות פתוחות).
יש חוק f שמשלח כל נקודה מ‑X לנקודה ב‑Y (פונקציה).
אומרים שקבוצה U ב‑Y פתוחה אם הקבוצה של הנקודות ב‑X ששולחות אליה פתוחה.
הטופולוגיה הזאת על Y נקראת טופולוגיית המנה.
זה גורם ל‑f להיות רציפה, כלומר היא לא מפריעה ל"פתיחות".
אם X קומפקטי (קטן ומסודר במובן מתמטי) ו‑Y האוסדורף (ניתן להפריד נקודות), ופונקציה f רציפה ושלמה (מכסה את כל Y), אז הטופולוגיה של Y היא טופולוגיית המנה.

אם מחברים נקודות ב‑X לפי כלל שמגבש קבוצות שוות (יחס שקילות), מקבלים את X/R.
יש פונקציה p שמקצה לכל נקודה את המחלקה שלה, p(x) = [x].
קבוצה ב‑X/R פתוחה אם ההחזרה שלה ל‑X פתוחה.