יחס שקילות

יחס שקילות הוא יחס בינארי, קבוצה של זוגות מסודרים של איברים מקבוצה נתונה, שמקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות.

יחס בינארי R על קבוצה A הוא קבוצה של זוגות (a,b) עם a ו-b שייכים ל-A. מסמנים a R b כש-(a,b) שייך ל-R.

יחס R נקרא יחס שקילות אם הוא מקיים:
- רפלקסיביות: כל איבר קשור לעצמו. למשל, שוויון תמיד מקיים זאת.
- סימטריות: אם a קשור ל-b אז גם b קשור ל-a. דוגמה שממחישה זאת היא שוויון.
- טרנזיטיביות: אם a קשור ל-b ו-b קשור ל-c אז a קשור ל-c. לדוגמה, יחס "קטן מ" הוא טרנזיטיבי.

שימו לב שסימטריה וטרנזיטיביות לבדן לא מבטיחות רפלקסיביות. לדוגמה, היחס הריק על קבוצה לא ריקה הוא סימטרי וטרנזיטיבי, אך אינו רפלקסיבי.

כל יחס שקילות מחלק את הקבוצה לתת־קבוצות שנקראות מחלקות שקילות. מחלקת השקילות של איבר a היא כל האיברים שקולים לו.
תכונה חשובה: כל איבר שייך בדיוק למחלקת שקילות אחת. לכן היחס יוצר פירוק (partition) של הקבוצה.

דוגמה פשוטה: היחס "יש להם תושבות זהה" מחלק את האנשים לפי מדינות. כל מחלקה מכילה את תושבי אותה מדינה.

ניתן גם להפוך: מכל חלוקה של קבוצה אפשר לבנות יחס שקילות שבו שני איברים שקולים אם היו באותה קבוצה בחלוקה.

אוסף כל מחלקות השקילות נקרא קבוצת המנה. כל מחלקה יכולה להיות מיוצגת על ידי נציג, איבר כלשהו ממנה.
קבוצת המנה משמשת לבניית מבנים מתמטיים. דוגמה חשובה: המספרים הרציונליים נבנים כמחלקות שקילות של זוגות מספרים שלמים, כאשר זוגות נחשבים שווים לפי תנאי יצירה (כלומר יחס שקילות על זוגות).

כשמגדירים פעולות בין מחלקות שקילות בעזרת נציגים, יש לוודא שהפעולה אינה תלויה בבחירת הנציג. לדוגמה, החיבור של שברים צריך לתת את אותה תוצאה לא משנה באיזה נציג משתמשים (למשל 1/3 + 2/3 שווה ל-2/6 + 8/12 במובן של מחלקות שקילות).

דוגמה אלגברית טיפוסית היא יחס שמגדירים על ידי קבוצת אידיאלים I: a שקול ל-b אם ההפרש b-a שייך ל-I.

יחס שקילות הוא דרך לקבץ דברים לפי כללים ברורים.

יחס בינארי זה כלל שאומר מתי שני איברים קשורים זה לזה. זה מוכתם על ידי זוגות של איברים.

כדי להיות יחס שקילות צריך שלוש תכונות קצרות:
- רפלקסיביות: כל דבר קשור לעצמו. זה נכון למשל לשוויון.
- סימטריות: אם A קשור ל-B אז גם B קשור ל-A. זה עובד בשוויון.
- טרנזיטיביות: אם A קשור ל-B ו-B קשור ל-C אז גם A קשור ל-C.

החוקים האלה יוצרים קבוצות של דברים שקולים. קוראים לקבוצות האלה "מחלקות שקילות".
דוגמה: אם מחלקים אנשים לפי תושבות, כל מחלקה היא תושבי אותה מדינה.

האוסף של כל המחלקות נקרא קבוצת המנה. כל מחלקה יכולה לקבל נציג אחד.
זה עוזר לבנות מספרים כמו שברים. למשל, 1 חלקי 2 ו-2 חלקי 4 הם באותה מחלקת שקילות.

דוגמה טכנית: אפשר לומר ש-a ו-b שקולים אם ההפרש שלהם שייך לקבוצה מסוימת בשם I. ההפרש הוא התוצאה של חיסור b פחות a.