מרחב ספרבילי

מרחב ספרבילי (נקרא גם מרחב פריד) הוא מרחב שבו קיימת קבוצה צפופה בת‑מנייה. "בת‑מנייה" פירושו שאפשר למנות את האיברים בסדר (כמו רשימה אינסופית), ו"צפופה" פירושו שסגירת הקבוצה היא כל המרחב, כלומר, כל נקודה במרחב ניתנת לקרבה על ידי נקודות מהקבוצה.

דוגמה פשוטה היא הישר הממשי: קבוצת המספרים הרציונליים היא בת‑מנייה וצפופה (כל קטע פתוח מכיל רציונלי), ולכן הישר ספרבילי. לעומתה, מרחב דיסקרטי שאינו בן‑מנייה אינו ספרבילי. גם המרחב של המספר הסודר הראשון (עם טופולוגיית סדר) אינו ספרבילי.

מרחב מטרי קומפקטי הוא ספרבילי, משום שהוא חסום כליל. כמו כן, במרחבים מטריים מתקיים: "מרחב מקיים את אקסיומת המנייה השנייה אם ורק אם הוא ספרבילי".

מרחב שמקיים את אקסיומת המנייה השנייה (כלומר יש לו בסיס בן‑מנייה) הוא ספרבילי.

יהי \mathcal{B} = \{B_n\}_{n=1}^\infty בסיס בן‑מנייה של X. בחרו לכל B_n נקודה x_n\in B_n ונסמנו A=\{x_n\}_{n=1}^\infty. A בת‑מנייה מעצם ההגדרה. לכל נקודה x\in X יש איבר בבסיס שמכיל אותה, והאיבר הזה חותך את A, ולכן x שייך לסגירת A. לכן A צפופה ו‑X ספרבילי.

לא נכון שההפך מתקיים: יש מרחבים ספרביליים שאינם מרחבים מנייה שנייה. דוגמה לכך היא הישר של סורגנפריי (הישר עם טופולוגיית הגבול התחתון): שם \overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}_\ell ולכן הוא ספרבילי, אך אינו מנייה שנייה.

מכפלה של עד עוצמת הרצף (כולל) מרחבים ספרביליים היא ספרבילית (עם טופולוגיית המכפלה). לעומת זאת, מכפלה של יותר מעוצמת הרצף מרחבים לא‑טריוויאליים אינה ספרבילית. ספרביליות אינה תכונה תורשתית: תת‑מרחב סגור של מרחב ספרבילי לא חייב להיות ספרבילי. לדוגמה, ב‑\mathbb{R}_\ell\times\mathbb{R}_\ell האלכסון L=\{(x,-x)\mid x\in\mathbb{R}\} אינו ספרבילי, אף שהמכפלה ספרבילית.

מרחב נקרא "ספרבילי תורשתית" אם כל תת‑מרחב סגור בו הוא ספרבילי. שאלת קיומו של מרחב רגולרי (או T0) שהוא ספרבילי‑תורשתית אבל לא לינדלף תלויה באקסיומות של תורת הקבוצות.

מרחב ספרבילי הוא מקום שבו יש קבוצה שאפשר למנות, והיא "צפופה". "למנות" פירושו שאפשר לספור את האיברים אחד‑אחד. "צפופה" פירושו שכל נקודה קרובה לנקודות של אותה קבוצה.

דוגמה ידידותית: על הישר המספרי יש הרבה רציונליים (כמו 1/2, 3/4). אפשר למנות אותם. בכל קטע יש מספר רציונלי. לכן הישר ספרבילי.

אם יש מרחב שבו כל נקודה מבודדת (מרחב דיסקרטי) והוא גדול מדי (אי־בן‑מנייה), אז הוא לא ספרבילי. גם מרחב מיוחד בשם "המספר הסודר הראשון" עם טופולוגיית סדר הוא דוגמה ללא ספרביליות.

אם יש רשימה של קבוצות פתוחות שמספיקה לבנות את כל הקבוצות (בסיס בן‑מנייה), אז המרחב ספרבילי.

בוחרים נקודה מכל קבוצה ברשימה. מקבלים רשימה של נקודות. הרשימה היא בת‑מנייה. כל נקודה במרחב נמצאת קרוב לנקודה מהרשימה, לכן הרשימה צפופה.

יש מרחבים שמכפילים יחד נותנים מרחב ספרבילי. אבל אם מכפילים יותר מדי מרחבים לא‑טריוויאליים, התוצאה לא תהיה ספרבילית. גם תת‑מרחב של מרחב ספרבילי עלול לא להיות ספרבילי; התכונה הזאת לא עוברת תמיד לתת‑מרחבים.