מספר רציונלי

מספר רציונלי הוא מספר שאפשר לכתוב כמנה של שני מספרים שלמים: מונה ומכנה. כל מספר שלם z הוא רציונלי כי אפשר לכתוב אותו בתור z/1. אפשר להציג את אותו רציונלי בשברים שונים; למשל 1/2 = 2/4 = 16/32. יש הצגה מצומצמת יחידה לכל רציונלי: המונה והמכנה זרים זה לזה (אין להם מחלק משותף גדול מ‑1) והמכנה חיובי.


שוויון בין שני שברים a/b ו‑c/d נבדק לפי ad = bc. החיבור והכפל מוגדרים כך:

a/b + c/d = (ad + bc)/bd

a/b × c/d = (ac)/bd

לכל רציונלי a/b קיים הופכי חיבורי −a/b. לכל רציונלי שאינו 0 (כלומר a ≠ 0) קיים הופכי כפלי, או־שכן: ההופכי של a/b הוא b/a. כלומר, חיסור וחילוק מוגדרים באמצעות ההופכיים הללו.


אפשר לבנות את הרציונליים מתוך הזוגות הסדורים (a,b) שבהם a שלם ו‑b טבעי (כאן ℕ = {1,2,3,...}). מגדירים על זוגות אלה חיבור וכפל כך:

(a,b)+(c,d) = (ad+bc,bd)

(a,b)×(c,d) = (ac,bd)

מגדירים יחס שקילות: (a,b) ∼ (c,d) אם ורק אם ad = bc. קבוצת המחלקות לפי יחס זה היא קבוצת המספרים הרציונליים. יש להראות שהחיבור והכפל "מוגדרים היטב", כלומר שהם לא תלויים בבחירת הנציגים של המחלקות. את זה מראים על ידי חישוב אלגברי שמשתמש בעובדה ש‑ab' = ba' ו‑cd' = dc'.

ניתן גם להגדיר סדר על הרציונליים: (a,b) ≤ (c,d) אם ad ≤ bc. בבדיקה ישירה אפשר להראות שהמבנה הזה מקיים את אקסיומות השדה, ולכן מתקבל שדה המספרים הרציונליים, המסומן בדרך כלל ב‑ℚ.



המספרים הרציונליים הם צפופים: בין כל שני רציונליים אפשר למצוא רציונלי נוסף. למעשה יש אינסוף רציונליים בין כל זוג מספרים רציונליים. משמעות הדבר גם היא שהרציונליים קרובים ככל שרוצים לכל מספר ממשי.


הקבוצה של כל הרציונליים היא בת‑מנייה (countable). אפשר לסדר את כל הזוגות של מספרים טבעיים ברשימה, ולדלג על השברים שאינם בצמצום. כך מקבלים התאמה חד‑חד‑ערכית ועל בין הזוגות לבין המספרים הטבעיים, ולכן גם בין הטבעיים לרציונליים. אחת הדרכים להראות זאת היא באמצעות פונקציית הזיווג של קנטור שממפה זוג (x,y) למספר טבעי לפי נוסחה ידועה (לדוגמה נוסחה שמחשבת חיבור של x ו‑y ואז בונה מספר יחיד).

מספר רציונלי הוא מספר שניתן לכתוב כשבר a/b. המונה (a) הוא החלק העליון. המכנה (b) הוא החלק התחתון. כל מספר שלם z הוא רציונלי כי אפשר לכתוב z/1. שבר יכול להופיע בצורות שונות. למשל 1/2 = 2/4. יש דרך לכתוב שבר באופן מצומצם. בצמצום המונה והמכנה אין להם מחלק משותף חוץ מ‑1. המכנה מצופה להיות חיובי.


שני שברים שווים אם ad = bc. חוקי החיבור והכפל פשוטים:

a/b + c/d = (ad + bc)/bd

a/b × c/d = (ac)/bd

ההופכי החיבורי של a/b הוא −a/b. ההופכי הכפלי של a/b הוא b/a, אם a לא שווה ל‑0. בעזרת זה עושים חיסור וחילוק.


מקשרים מספר רציונלי לזוג (a,b) שבו a שלם ו‑b טבעי (1,2,3,...). זוגות אלה שווים אם ad = bc. כל רציונלי הוא כל המחלקה של זוגות שווים כאלה.



בין כל שני רציונליים תמיד נמצא רציונלי נוסף. יש תמיד עוד שבר באמצע.


הרציונליים אפשר לסדר ברשימה אחת. כלומר הם בת‑מנייה. יש דרך לזג את כל הזוגות של מספרים טבעיים למספרים טבעיים, וכך להראות שאפשר למנות את כל השברים.