קיומן של פונקציות מרומורפיות על משטח רימן קומפקטי
משטח רימן הוא משטח שבו עובדים עם מספרים מורכבים. מחפשים פונקציות מיוחדות שנקראות מרומורפיות. מרומורפית היא פונקציה שהיא חלקה רוב הזמן. היא יכולה "להתנהג חזק" בכמה נקודות בודדות. נקודה כזו קוראים לה קוטב. יש משפט בשם רימן־רוך שמראה רעיון פשוט: בעזרת נתון על מבנה המשטח אפשר למצוא פונקציה שאינה קבועה....
פונקציה מרומורפית
פונקציה מרומורפית טובה בכל מקום חוץ ממספר נקודות בודדות. טובה פה אומרת שהיא חלקה וניתנת לחשבון. בנקודות הבעייתיות היא יכולה "לקפוץ" ולגדול בלי סוף. קפיצה כזו קוראים לה קטב. קטב הוא נקודה שבה הערך לא רגיל. אפשר לכתוב פונקציה מרומורפית כחילוק של שתי פונקציות חלקות. הנקודות שבהן המכנה שווה לאפס הן ...
משפט רימן-רוך
משפט רימן־רוך עוזר לחשב כמה פונקציות מיוחדות יש על משטח רימן. משטח רימן (שטח מיוחד שבו מדברים על פונקציות חלקות) הוא המקום שבו עובדים. מחלק (divisor) הוא רשימה קצרה של נקודות עם מספרים ליד כל נקודה. הדרגה של המחלק היא סכום המספרים. L(D) הוא אוסף של פונקציות מרומורפיות. פונקציה מרומורפית (פונקציה ש...
משטח רימן
הוא דוגמה למשטח רימן פרבולי משטח רימן הוא צורה מיוחדת שבה עובדים עם מספרים מורכבים. ליד כל נקודה הוא נראה כמו חלק קטן מהמישור של מספרים מורכבים. (מישור זה הוא מקום שבו מסמנים a+bi.) דוגמאות פשוטות הן הספירה והטורוס. יש גם צורות שאינן משטחים רימן, כמו סרט מביוס. אטלס הוא אוסף מפות שמכסה את כל המש...
פונקציית זטא
פונקציית זטא הוא שם שמ mathematicians משתמשים בו לכמה פונקציות מיוחדות. השם מגיע מפונקציית זטא של רימן. פונקציה כזו נראית לעתים כמו סכום כזה: ζ(s)=∑ a_i z_i^s זה אומר שמוסיפים הרבה איברים. a_i הם מספרים חיוביים. z_i גם מספרים חיוביים. המספרים האלה עוזרים לתאר אובייקט מתמטי. לעתים מצפים מפונקציי...
עקרון הארגומנט
עקרון הארגומנט אומר: אם מסתובבים מסביב לצורה, שינוי הזווית של הערכים של פונקציה קשור לכמות האפסים והקטבים שבתוך הצורה. פונקציה מרומורפית היא פונקציה חלקה חוץ ממספר נקודות מיוחדות שנקראות קטבים. הנוסחה המרכזית היא: השינוי בזווית = 2π × (מספר האפסים − מספר הקטבים). קרוב לכל אפס a אפשר לכתוב את הפונקצ...
קוטב (אנליזה מרוכבת)
קוטב הוא מקום שבו פונקציה מרוכבת הולכת לאינסוף. פונקציה מרוכבת היא פונקציה שמקבלת מספרים עם חלק מדומה. אם בקרבת נקודה z0 הפונקציה מתנהגת טוב אבל בערך של z0 היא שואפת לאינסוף, זו נקראת נקודת קוטב. אנליטית פירושו שאפשר לכתוב את הפונקציה כסדרה של חזקות קרובה לנקודה. סדר הקוטב הוא מספר n הקטן ביותר שע...