משפט ארבעת הריבועים של לגראנז'

משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' קובע שכל מספר טבעי ניתן לכתיבה כסכום של ארבעה ריבועים שלמים. למשל, 107=8^2+5^2+3^2+3^2. לז'וזף לואי לגראנז' מיוחסת ההוכחה מ‑1770, אך הוא הופיע כבר ללא הוכחה בהערות של קלוד בשה מ‑1621.

הצעד המרכזי בהוכחה הוא זהות אלגברית שמראה: מכפלת שני מספרים שאפשר לכתוב כל אחד כסכום של ארבעה ריבועים גם היא ניתנת לכתיבה כסכום של ארבעה ריבועים. משמעות הדבר היא שמספיק להוכיח את הטענה עבור מספרים ראשוניים (מספר ראשוני = מספר שמתחלק רק ב‑1 ובעצמו). ההוכחה ממשיכה בהצגה של טכניקה שנקראת שיטת הירידה של אוילר (שיטה שמפשטת הצגה של מכפלות עד שמגיעים לייצוג של המספר הראשוני עצמו). חלק חשוב בהוכחה הוא ממצא על קיום a,b כך ש‑a^2+b^2+1 מחלק את p, מה שמאפשר את הירידה.

קשר חשוב נוסף מופיע דרך הקווטרניונים, מבנה אלגברי שמאפשר לנסח ולבאר את הזהות ולעקוב אחרי הצגות כאלה. החוגים של קווטרניונים של הורוויץ וליפשיץ מהווים מסגרת נוחה לתופעה הזו.

יש משפטים קרובים לגבי סכומי שלושה או שניים ריבועים. לדוגמה, מספרים מהצורה 4^n(8m+7) לא ניתנים להצגה כסכום של שלושה ריבועים. רעיון זה הועלה כבר על ידי דיופנטוס, הוכח על ידי דקארט, ולבסוף הוכח באופן מלא על ידי לז'נדר וגאוס. עבור שני ריבועים יש כלל ידוע של פרמה: מספר ראשוני ניתן להציג כסכום של שני ריבועים אם ורק אם הוא שנותרית 1 בחלוקה ב‑4 (p≡1 mod 4); אוילר נתן הוכחה בשיטת הנסיגה.

תוצאות אלה שולבו גם בבעיות כלליות יותר, למשל בבעיית וארינג ובחקר תבניות ריבועיות במספרים שלמים, שהעמיקו את הבנת הצורות שמייצגות מספרים.

מספר תוצאות מתורת ההסה ומינקובסקי מראות שמשפט לגראנז' תקף גם בשדות מספרים אחרים (שדות גלובליים). בנוסף, משפטים כלליים על מספרים מצולעים מראים שניתן לכתוב כל מספר כסכום מסוים של מספרים מצולעים; במקרה n=4 זה מתאים למשפט של לגראנז'.

כל מספר טבעי אפשר לכתוב כסכום של ארבעה ריבועים. ריבוע = מספר כפול עצמו. לדוגמה: 107=8^2+5^2+3^2+3^2. את המשפט הוכיח לגראנז' ב‑1770.

יש דרך חכמה שמראה שהמכפלה של שני מספרים שסכומם ארבעה ריבועים גם היא סכום ארבעה ריבועים. לכן מספיק להוכיח את זה עבור מספרים ראשוניים. מספר ראשוני הוא מספר שמתחלק רק ב‑1 ובעצמו. אוילר השתמש בשיטת הירידה כדי להקטין בעיות כאלה עד שמגיעים לפתרון של המספר הראשוני.

יש משפט אחר על שלושה ריבועים. מספרים מסוימים, כמו אלה מהצורה 4^n(8m+7), לא ניתנים לשלושה ריבועים. חוקרים כמו דקארט, פרמה וגאוס עבדו על זה והוכיחו תוצאות חשובות. גם לגבי שני ריבועים יש כלל, פרמה גילה אילו ראשוניים ניתנים לשתי ריבועים.

התופעה לא מוגבלת לשברים שלמים בלבד. יש גרסאות דומות בשדות מספרים אחרים. כמו כן, יש חוקים כלליים שמספרים יכולים להתפרק לסכומים של צורות שונות, למשל מספרים מצולעים.