קומפקטיפיקציה
קומפקטיפיקציה היא דרך לשים מרחב בתוך מרחב קטן וסגור יותר. קומפקטי כאן אומר "מרחב עם תכונות טובות". דוגמה ברורה: אם לוקחים (0,1) - קטע בלי הקצוות - ומוסיפים את נקודות הקצה, מקבלים [0,1]. כך הופכים משהו "פתוח" ל"סגור". לעתים מוסיפים נקודה אחת שנקראת "באינסוף". אם מוסיפים אותה לישר הממשי, מקבלים מרחב...
קיומן של פונקציות מרומורפיות על משטח רימן קומפקטי
משטח רימן הוא משטח שבו עובדים עם מספרים מורכבים. מחפשים פונקציות מיוחדות שנקראות מרומורפיות. מרומורפית היא פונקציה שהיא חלקה רוב הזמן. היא יכולה "להתנהג חזק" בכמה נקודות בודדות. נקודה כזו קוראים לה קוטב. יש משפט בשם רימן־רוך שמראה רעיון פשוט: בעזרת נתון על מבנה המשטח אפשר למצוא פונקציה שאינה קבועה....
מרחב קומפקטי מקומית
מרחב קומפקטי מקומית אומר שלכל נקודה יש סביבת קומפקטית. (קומפקטי = אפשר לכסות את הכל עם מספר קטן של חלקים פתוחים.) זה שונה מלהיות קומפקטי לכלל המרחב. אפשר לחלק מרחב לחלקים שכל אחד מהם קומפקטי. בחלק מהמקרים, אם אפשר להפריד נקודות היטב (אוסדורף), מספיק לבדוק שסגור של קבוצות קטנות הוא קומפקטי. הישר המ...
משפט הקומפקטיות
משפט הקומפקטיות אומר שאם כל קבוצה קטנה של משפטים מתקיימת, גם כל הקבוצה כולה יכולה להתקיים. מודל הוא מקום שבו המשפטים נכונים.\n\n= הוכחות למשפט =\nיש כמה דרכים להוכיח את המשפט. אחת מהן משתמשת במשפט השלמות של גדל. המשפט הזה מחבר בין "אין סתירה" לבין "יש מודל". דרך אחרת היא טופולוגית. שם מסתכלים על מרח...
קבוצה קומפקטית
קבוצה קומפקטית היא קבוצה שאפשר "לכסות" בכמה פתוחות ואז לבחור מעט מהן שעדיין מכסות. כיסוי פתוח זה אוסף של קבוצות פתוחות שאיחודן כולל את כל הנקודות. תת-כיסוי הוא כמה קבוצות מהכיסוי הזה שמכסות גם כן. חוקרים למדו את הרעיון הזה לפני מאה שנים. דוגמאות חשובות עזרו להבין את המושג. אם מכל כיסוי פתוח אפשר ל...
אדוארד צ'ך
אדוארד צ'ך (1893, 1960) היה מתמטיקאי מצ'כיה. הוא חקר צורות ומרחבים במתמטיקה. נולד בבוהמיה. ב-1912 התחיל ללמוד באוניברסיטה בפראג. במלחמת העולם הראשונה שירת בצבא וחזר ללמוד. ב-1920 קיבל דוקטורט, וזה תואר מתקדם במתמטיקה. בשנות ה־20 נסע לאיטליה ועבד עם מתמטיקאים אחרים. ב-1923 התחיל ללמד באוניברסיטת ב...
משפט הקטגוריה של בר
משפט בר אומר שמשתתף חשוב בטופולוגיה. הוא אומר: במקומות מסוימים, קבוצת "הרבה חלקים קטנים" לא יכולה להכיל אזור פתוח. "קבוצה מקטגוריה ראשונה" זה אומר שקבוצה היא איחוד של הרבה קבוצות קטנות. "דליל" אומר שהקבוצה לא תופסת אזור פתוח אפילו אחרי שסוגרים אותה. דוגמה: המספרים הרציונליים מחולקים להרבה נקודות, ו...
טופולוגיה טריוויאלית
טופולוגיה טריוויאלית (דרך להחליט מה פתוח) אומרת: רק שתי קבוצות פתוחות. אלה הן הקבוצה הריקה ו־X. זו הטופולוגיה החלשה ביותר. ההפך ממנה הוא הטופולוגיה הדיסקרטית, שבה כל קבוצה פתוחה. כל תת־קבוצה כאן קומפקטית. קומפקטי (אפשר לכסות אותה בכמה אזורים בודדים). כל פונקציה אל המרחב הזה היא רציפה. רציפה (לא קו...
מרחב מטריזבילי
מרחב טופולוגי נקרא מטריזבילי אם אפשר למדוד מרחקים בו. מטריקה היא פונקציה שמודדת מרחק בין נקודות. יש משפט של אוריסון שאומר: אם המרחב יודע להפריד נקודות היטב (T3) ויש לו בסיס מנייה, אז אפשר להגדיר עליו מטריקה. משפט נגאטה, סמירנוב מרחיב את זה. הוא דורש בסיס שמאורגן כאיחוד של אוספים ש"סופיים באופן מקו...
תכונת החיתוך הסופי
אוסף קבוצות יש לו את תכונת החיתוך הסופי אם בכל תת-אוסף סופי יש נקודה משותפת. חיתוך = הנקודות שמופיעות בכל הקבוצות. לדוגמה, יש משפחה של קטעים שמתקצרים כל פעם. לכל תת-אוסף סופי יש נקודה משותפת, אבל אין נקודה שמשותפת לכולם. קומפקטי (קומפקטיות) אומר: אם כל נקודה במרחב מכוסה על ידי רשימת קבוצות פתוחות, א...
חלוקת יחידה
חלוקת יחידה היא קבוצה של פונקציות שמקבלות ערכים לא שליליים. בכל נקודה סכום הערכים של כל הפונקציות הוא 1. כל פונקציה לא שווה אפס רק במקום קטן. המקום שבו הפונקציה לא אפס נקרא תמיכה. תמיכה היא הסגירה של המקום הזה, כלומר גם הגבול שלו כלול. קומפקטית אומרת "קבוצה קטנה וסגורה". אם מכסים את המרחב בקבוצות פ...
טופולוגיה דיסקרטית
בטופולוגיה, הטופולוגיה הדיסקרטית היא מצב שבו כל קבוצה פתוחה. טופולוגיה היא חוק שאומר אילו קבוצות פתוחות. כל תת־קבוצה נחשבת פתוחה כאן. אפשר לתאר אותה בעזרת מטריקה דיסקרטית. מטריקה היא דרך למדוד מרחקים. במטריקה הזו המרחק בין שתי נקודות שונות הוא תמיד אותו דבר. המרחב הדיסקרטי עומד בהרבה תכונות חשובות...
עקומת הסינוס של הטופולוגים
עקומת הסינוס של הטופולוגים היא קבוצה של נקודות במישור. זאת הקבוצה של הנקודות (x, sin(1/x)) לכל x גדול מאפס. בנוסף יש קטע אנכי בנקודה x=0 מ-y=-1 עד y=1. העקומה היא "ביחד". כלומר היא לא נחתכת לשתיים. זו דוגמה מיוחדת ששווה ללמוד. אבל אי אפשר תמיד לצייר מסלול רציף בין שתי נקודות בה. זאת אומרת, היא אינה ...
פונקציה רציפה (טופולוגיה)
פונקציה רציפה בטופולוגיה היא חוק שמקשר בין שתי קבוצות של נקודות. טופולוגיה היא דרך להגיד מי קרוב למי בלי לדבר על מרחק. פונקציה היא רציפה אם כל קבוצה פתוחה בטווח לה יש מקור פתוח במקור. מקור פתוח זה קבוצה של נקודות שנשלחות לתוך הקבוצה בטווח. במילים פשוטות: אפשר לבחור סביבת מקור קטנה ש־f שולחת אותה לת...
משפט טיכונוף
משפט טיכונוב אומר: אם כל אחד מהמרחבים בקבוצה הוא קומפקטי, אז גם המרחב שמורכב מהם יחד (המכפלה) קומפקטי. קומפקטיות פירושה: כל כיסוי של המרחב על ידי קבוצות פתוחות ניתן לכסות בעזרת מספר סופי מהן (כלומר לא צריך אינסוף קבוצות). טיכונוב הוכיח את זה בתחילת המאה ה־20. אחת ההוכחות מסתכלת על קבוצות פתוחות שמ...
אקסיומות המנייה
אקסיומות המנייה מדברות על כמה קבוצות יש במרחב טופולוגי. אם הקבוצות האלה אפשר לספור אותן, אומרים שהן בנות מנייה. מרחב טופולוגי הוא מקום עם קבוצות שנקראות פתוחות. בסיס הוא אוסף קטן של קבוצות פתוחות. כל קבוצה פתוחה נבנית מאיחוד של קבוצות מהבסיס. בסיס מקומי הוא אוסף כזה סביב נקודה מסוימת. אקסיומת המני...
מרחב נורמלי
נורמלי פירושו שמפרידים שתי קבוצות סגורות עם שתי קבוצות פתוחות שונות. קבוצה סגורה היא קבוצה שמכילה את הגבול שלה. קבוצה פתוחה היא סביבת נקודות בלי הגבול בתוכה. אם כל נקודה גם היא קבוצה סגורה, קוראים למרחב T4. אפשר לחשוב על זה כאפשרות להפריד דברים בצורה ברורה. הלמה של אוריסון אומרת: יש פונקציה רציפה ...
תבנית:טופולוגיה
יש רשימת סוגי מרחבים: T1, T2 (מרחב האוסדורף), T2.5, T3, T4 ועוד. מרחב האוסדורף הוא שם לסוג מרחב. עוד מילים חשובות: קומפקטיפיקציה (שיטה לשנות מרחב), קומפקטיפיקציה חד‑נקודתית וקומפקטיפיקציה של סטון‑צ'ך. גם מדברים על השלמה. בעוד ענפים יש חשבון אינפיניטסימלי (שמתעסק בשינוי), משוואות דיפרנציאליות, אנלי...
טופולוגיה מושרית
טופולוגיה מושרית נותנת ל-Y את אותן קבוצות פתוחות שיש ב-X. טופולוגיה = אוסף קבוצות פתוחות. תת-קבוצה = קבוצה בתוך קבוצה אחרת. כל קבוצה פתוחה ב-Y היא חיתוך של קבוצה פתוחה ב-X עם Y. זאת אומרת: לוקחים קבוצת פתוחה ב-X וחותכים אותה עם Y. המספרים הרציונליים Q מקבלים את הטופולוגיה מהישר הממשי. כך Q הופכים ...
משפט נקודת השבת של בראואר
משפט נקודת השבת של בראואר אומר: אם מפה רציפה מחזירה כל נקודה בתוך הכדור אל בתוך אותו הכדור, יש נקודה שאותה המפה לא משנה. הכדור כאן הוא כל הנקודות שלא נמצאות רחוק יותר מ־1 מהמרכז. "רציפה" פירושו: כשזזים מעט את הנקודה, התמונה לא קופצת. דוגמה פשוטה: קמטים דף נייר בלי לקרוע ועוברים אותו מעל דף אחר זהה...
משפט היינה-בורל
משפט היינה-בורל אומר בקצרה: בקבוצות של המספרים הממשיים ובמרחבים האוקלידיים R^n, קבוצה קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה. סגורה = כוללת את נקודות הגבול שלה. חסומה = לא מתרחקת לאינסוף. קומפקטית כאן אומרת שכל כיסוי פתוח שלה אפשר לצמצם לתקציר קטן, כלומר למצוא תת-כיסוי סופי. כיסוי פתוח זה אוסף של קבוצו...
מרחב מכפלה
מרחב מכפלה נוצר ממרחבים שונים על ידי שילוב שלהם לנקודות עם כמה רכיבים. טופולוגיית המכפלה היא אוסף הקבוצות הפתוחות שבו. הטלה היא פונקציה שמוציאה את אחד הרכיבים של נקודה במכפלה. קבוצת גלילית היא קבוצה שפתוחה ברכיב אחד וכוללת את כל הרכיבים האחרים. הבסיס לטופולוגיה מקבלים מחיתוכים סופיים של קבוצות גלי...
טופולוגיה
טופולוגיה היא ענף במתמטיקה שעוסק בצורות ובאופן שבו הן מחוברות. היא בוחנת מה נשאר כשהצורה נמתחת או מכווצת, אבל לא נחתכת או מודבקת. האיש הראשון שכתב על רעיון טופולוגי היה לאונרד אוילר. הוא הראה ב-1736 שלא אפשר לעבור בכל שבעת גשרי העיר קניגסברג פעם אחת בלי לחזור. אחרי זה מדענים כמו יוהאן ליסטינג ואנר...
מרחב חסום לחלוטין
מרחב מטרי הוא מקום שבו מודדים מרחקים בין נקודות. מרחב חסום לחלוטין הוא כזה שאפשר לכסות אותו בכמה כדורים בודדים לכל רדיוס קטן. כל מרחב חסום לחלוטין הוא גם חסום. דוגמה: במטריקה דיסקרטית בין שני מספרים שונים המרחק הוא 1. המרחב הזה חסום, אבל לא חסום לחלוטין. למה? כי אם הכדורים קטנים מאוד, כל כדור יכיל ...
סריג (גאומטריה)
סריג הוא דפוס שחוזר על עצמו שוב ושוב עד אין־סוף. הזזה בכיוון מתאים תשאיר את הסריג בדיוק כמו קודם. נקודות החיבור של משבצות על דף הן סריג. גם מרכזי תפוזים בערימה יוצרים דפוס שחוזר. אפשר לבנות סריג כך: בוחרים כמה כיוונים (כמו חצים), ואז עושים צעד שלם בכל אחד מהם שוב ושוב. הקבוצה שנוצרת היא סריג. יש י...
עקום אלגברי
עקום אלגברי הוא צורה במתמטיקה שממד שלה הוא 1. זה אומר שהיא דומה ל"קו" מתמטי. בדרך כלל רוצים שהיא לא תתפרק לחלקים קטנים. עקום שלם הוא עקום מלא וסגור. עקום חלק הוא עקום בלי נקודות בעייתיות. לכל עקום חלק אפשר להוסיף כמה נקודות כדי לקבל עקום שלם. ההשלמה הזאת ייחודית. לכל עקום שלם חלק יש מספר בשם גנוס....
קוטר עלסופי
במרחב מטרי (מקום שאפשר למדוד בו מרחק בין נקודות) יש מושג שנקרא קוטר עלסופי. זהו מספר שמראה איך נקודות יכולות להתפזר בקבוצה, קצת כמו מטענים חשמליים. מיכאל פקטה המציא את הרעיון הזה. קודם מגדירים קוטר פשוט. זה המרחק הכי גדול בין שתי נקודות בקבוצה. אחר כך יש קוטר מסדר n. שם שמים n נקודות ומחשבים את ה...
מישור מור
מישור מור הוא חצי מישור עליון: כל הנקודות עם y ≥ 0. נקודות שמעל הציר מתנהגות כמו במישור הרגיל. נקודה על הציר (a,0) מקבלת שכנות מיוחדות. כל שכונה כזו כוללת את הנקודה עצמה ו"בועות" שמגעות לציר בנקודה זו. ה"בועות" הן עיגולים שמרכזם מעל הציר ונוגעים בו. המקום הוא ספרבילי. ספרבילי אומר: יש קבוצה מסוד...
מדיה דיגיטלית
מדיה דיגיטלית היא מידע שמאוחסן כמספרים. דיגיטלי פירושו: שמור כמספרים. למשל קובץ תמונה במחשב הוא דיגיטלי. סרט צילום ישן על סרט אינו דיגיטלי. יש לה כמה יתרונות. היא תופסת מקום קטן, אפשר לעבוד איתה בתוכנה במחשב, ולשלוח אותה דרך האינטרנט או ברשת הביתית. ויקיפדיה היא דוגמה לאנציקלופדיה שהפכה למדיה דיגי...
משפטי ויירשטראס
יש שני משפטים חשובים על פונקציות רציפות (פונקציה ששינוי קטן בקלט מביא לשינוי קטן בתוצאה). הם מדברים על פונקציות המוגדרות על קטע סגור וחסום, כלומר על טווח מספרים שאפשר לסגור בשתי נקודות. המשפט הראשון: פונקציה כזאת לא יכולה לגדול בלי סוף. זאת אומרת, כל הערכים שלה נשארים בתוך גבול מסוים. המשפט השני...
קבוצה חסומה
קבוצה חסומה היא קבוצה שכל הנקודות שלה יושבות בתוך כדור. כדור זה הוא כל הנקודות שהמרחק מהמרכז קטן ממספר קבוע. מרחק אומר כמה רחוק שתי נקודות אחת מן השנייה. בדוגמה של קו המספרים, קבוצה חסומה יכולה להיות בתוך קטע סופי. זאת אומרת, יש מספר אחד גדול מכולם ומספר אחד קטן מכולם. אם המרחק בין כל שתי נקודות...
מרחב רגולרי
מרחב רגולרי הוא מרחב טופולוגי. מרחב טופולוגי הוא קבוצת נקודות עם רעיון של סביבות. הוא רגולרי אם כל פעם שיש נקודה מחוץ לקבוצה סגורה, אפשר למצוא שתי סביבות פתוחות שלא נוגעות זו בזו. סגורה, כלומר היא כוללת את הגבול שלה. אם בנוסף כל נקודה היא סגורה, קוראים למרחב T3. עוד דרך להגיד זאת: אם נקודה בתוך ק...
הומיאומורפיזם
הומיאומורפיזם (נקרא גם שקילות טופולוגית) הוא קשר בין שני מרחבים. זה אומר שיש פונקציה שמקשרת כל נקודה בנקודה אחרת. הפונקציה לא שוברת או חוררת את המרחב. רציפות כאן אומרת: אם קבוצה פתוחה ביעד, כל הנקודות שמראות אליה מסתדרות כקבוצה פתוחה במקור. זאת אומרת, לא קופצים פתאום נקודות. העתקה היא הומיאומו...
הישר הממשי
הישר הממשי מתאר את כל המספרים הממשיים כקו ישר. זהו קו שבו כל נקודה מייצגת מספר. אפשר לחבר מספרים על הישר ולהכפיל אותם בסקלר. מרחב וקטורי זה הוא מממד אחד, כלומר יש רק כיוון אחד על הקו. עוצמת הרצף אומרת שיש על הקו הרבה מאוד מספרים. קנטור הראה שאי אפשר לרשום את כולם אחד אחרי השני. על הישר יש מושג ש...
יריעת קאלאבי-יאו
יריעות קאלאבי-יאו הן צורות מיוחדות בגאומטריה. "יריעה" כאן אומרת "צורה חלקה". הן נחשבות חשובות כי יש להן תכונה מתמטית מיוחדת. בשנת 1957 הציע מתמטיקאי בשם קאלאבי רעיון על צורות כאלה. בשנת 1977 יאו הוכיח שהוא צודק. באופן פשוט, יריעה כזו היא צורה חלקה וסגורה שיש עליה "תבנית עליונה הולומורפית". זה אומר...
משפט בולצאנו-ויירשטראס
המשפט של בולצאנו, ויירשטראס אומר: אם יש קבוצה חסומה עם אינסוף נקודות, יש נקודה קרובה להרבה מהנקודות. חסומה אומרת שהנקודות לא יכולות להתרחק מאוד. נקודת הצטברות היא נקודה שסביבתה תמיד כוללת נקודות מהקבוצה. אפשר להבין את זה כך: קח קטע שמכיל את כל הנקודות. חלק אותו לשניים. בחלק אחד חייבות להיות אינסוף ...
סביבה (מתמטיקה)
סביבה של נקודה היא קבוצה שמכילה אזור קטן סביב הנקודה. אזור קטן זה הוא קבוצה פתוחה. קבוצה פתוחה היא כזאת שלכל נקודה בה יש נקודות קרובות עוד. אם יש קבוצה N שמכילה קבוצה פתוחה שכוללת את הנקודה a, אז N היא סביבה של a. סביבה מנוקבת היא אותה סביבה בלי הנקודה עצמה. סביבה פתוחה היא סביבה שהיא גם קבוצה פתוח...
מרחב מטרי שלם
מרחב מטרי שלם הוא מרחב שבו כל סדרת קושי מתכנסת לנקודה. סדרת קושי היא סדרה שהמרחקים בין איבריה נעשים קטנים מאוד. דוגמה פשוטה: המספרים הממשיים שלמים. המספרים הרציונליים לא שלמים. יש רציונליים שמתקרבים למספר שלא רציונלי, בשם שורש 2. השלמה היא מילוי החורים במרחב. מוסיפים נקודות כדי שכל סדרה תקבל גבול...
תורת המיתרים
תורת המיתרים אומרת שחלקיקים הם מיתרים קטנים, לא נקודות. מיתר (חוט קטן) יכול להיות פתוח או להסתובב כלולאה. כשהמיתר רועד, הוא "הופך" לחלקיק אחר. מטרת התיאוריה היא לחבר שתי תיאוריות גדולות: אחת מסבירה חלקיקים קטנים, והשנייה מסבירה כבידה וחורים שחורים. במקום קו לתיאור חלקיק, המיתר יוצר משטח בזמן. המשט...
מרחב רגולרי לחלוטין
מרחב רגולרי לחלוטין הוא מקום שבו אפשר להפריד נקודה מקבוצה סגורה. קבוצה סגורה היא קבוצה הכוללת את הגבול שלה. ההפרדה נעשית בעזרת פונקציה רציפה. פונקציה רציפה זה דבר שלא קופץ. היא נותנת את המספר 0 לכל נקודות הקבוצה ואת המספר 1 לנקודה שמחוץ לה. מרחב טיכונוף הוא מרחב כזה שבו כל נקודה היא גם קבוצה סגורה...