משפט טיכונוף

משפט טיכונוב קובע: אם יש משפחה של מרחבים טופולוגיים קומפקטיים then גם מרחב המכפלה שלהם (עם טופולוגיית המכפלה) קומפקטי. המשפט הוכח על ידי אנדריי טיכונוב בתחילת שנות ה-30 ונחשב לאחד מהבסיסיים בטופולוגיה כללית. במקרה של מכפלה סופית ההוכחה קלה; העומק של המשפט הוא בכך שהוא תקף גם עבור מכפלות אינסופיות רבות־מימדיות. בנוסף, המשפט שקול לאקסיומת הבחירה במסגרת ZF: כלומר, כל אחת מהן יכולה לשמש להוכחת השנייה. הגרסה המוחלשת שמדברת רק על מכפלות של מרחבי האוסדורף קומפקטיים אינה גוררת את אקסיומת הבחירה, אך גם אינה ניתנת להוכחה ב־ZF לבד.

קיימות מספר הוכחות עיקריות.
1) בעזרת משפט אלכסנדר לתת־בסיסים: לטופולוגיית המוצר יש תת־בסיס המורכב מקבוצות ש'פותחות רק ברכיב אחד'. מחשבים כיסוי על־ידי קבוצות אלה. אם עבור איזה רכיב הקטעי־הפתח שלו (U_i) מכסים את X_i, קומפקטיות של X_i נותנת תת־כיסוי סופי של כל המכפלה. אם לא, בעזרת אקסיומת הבחירה בוחרים נקודות שלא כלולות ב־U_i ומרכיבים נקודה שלא תהיה מכוסה, סתירה.

2) בעזרת מסננים (filter): מקרינים כל מסנן על רכיבים נפרדים, מקבלים גבולות a_i לפי קומפקטיות של כל X_i, ואז מראים שהנקודה (a_i) היא גבול המסנן במכפלה.

3) בעזרת משפחות של קבוצות סגורות וחיתוכים: משתמשים בלמה של צורן (Zorn) כדי להרחיב אוסף לחתכי־סופי לא־ריקים למקסימלי, לוקחים סוגרים של ההטלות ומקבלים נקודה משותפת דרך קומפקטיות כל הרכיבים.

אם X בעל תת־בסיס B ואם כל כיסוי של X על־ידי קבוצות מ־B מקיים תת־כיסוי סופי, אז X קומפקטי. ההוכחה בונה כיסוי מקסימלי חסר תת־כיסוי סופי ומשתמשת בנקודה שלא מכוסה כדי להגיע לסתירה דרך קבוצות בסיס מתאימות.

כדי להראות ש־טיכונוב מקביל לאקסיומת הבחירה בונים עבור כל קבוצה לא־ריקה X_i מרחב פשוט Y_i שיש בו שתי נקודות מיוחדות. ההנחה שטיכונוב נכונה מראה שהמכפלה של ה־Y_i אינה ריקה, ומשם בוחרים רכיבים שמוכיחים שקיימת בחירה של איבר מכל X_i, כלומר מכפלת ה־X_i אינה ריקה.

משפט טיכונוב אומר: אם כל אחד מהמרחבים בקבוצה הוא קומפקטי, אז גם המרחב שמורכב מהם יחד (המכפלה) קומפקטי. קומפקטיות פירושה: כל כיסוי של המרחב על ידי קבוצות פתוחות ניתן לכסות בעזרת מספר סופי מהן (כלומר לא צריך אינסוף קבוצות). טיכונוב הוכיח את זה בתחילת המאה ה־20.

אחת ההוכחות מסתכלת על קבוצות פתוחות שמפתחות רק רכיב אחד בכל פעם. אם עבור רכיב מסוים הקבוצות האלה מכסות את אותו רכיב, קומפקטיות שלו נותנת כיסוי סופי לכל המכפלה. אם לא, בוחרים נקודות שלא כלולות בקבוצות האלה ומקבלים נקודה שלא מכוסה, סתירה. זו הדרך הפשוטה להבין למה המכפלה קומפקטית.

אם יש תת־בסיס של קבוצות פתוחות וכאשר כל כיסוי ממנו נותן תת־כיסוי סופי, אז המרחב כולו קומפקטי.

טיכונוב קשור לאקסיומת הבחירה. משתמשים בבניין מיוחד של מרחבים כדי להראות שאם טיכונוב נכון אז אפשר לבחור איבר מכל קבוצה במשפחה, כלומר המכפלה אינה ריקה.