עוצמה (מתמטיקה)

המונח המתמטי "עוצמה" (או "מספר קרדינלי" / "מספר מונה") מתאר את הגודל של קבוצה, בלי להתחשב במה שבפנים.\n\nלעוצמה של קבוצה סופית יש הגדרה פשוטה: מספר האיברים בקבוצה. לדוגמה, העוצמה של {−8,2,3,7} היא 4, ועוצמה של קבוצת חודשי השנה היא 12. העוצמה הכללית היא הכללה של המושג הזה גם לקבוצות אינסופיות.\n\n= שקילות בין קבוצות =\nכדי להשוות גדלים משתמשים ברעיון של "שקילות": שתי קבוצות שקולות אם קיימת בין שתיהן פונקציה חד־חד־ערכית ועל (בידייה). משמעות זו חופפת לספירה בקבוצות סופיות, והיא מאפשרת להכליל את ההשוואה גם לאינסופיות.\n\nהמבחן המפתיע הוא שקבוצה אינסופית יכולה להיות באותו גודל כמו תת־קבוצה שלה. כך, לקבוצת כל המספרים הטבעיים {1,2,3,...} יש אותה עוצמה כמו לקבוצת המספרים הזוגיים {2,4,6,...}. ההתאמה היא הפונקציה n ↦ 2n, שמזוווגת כל טבעי עם זוגי.\n\nבנוסף, מקובל להגדיר קבוצה אינסופית כקבוצה החופפת לתת־קבוצה ממש שלה.\n\n= ריבוי עוצמות =\nיש עוצמות אינסופיות שונות ב"גודל". קנטור הראה שקבוצת המספרים הרציונליים החיוביים היא בת־מנייה, כלומר ניתן למנות אותה לפי כל המספרים הטבעיים. ההוכחה מערבת פירוק השברים לפי "גובה" (|a|+|b|) ורישום בשורות לפי הגובה.\n\nבמקביל הוכיח קנטור שהממשיים אינם בני־מנייה על ידי מבחן האלכסון, כלומר לעוצמתם אין התאמה עם הטבעיים. את עוצמת הממשיים קוראים "עוצמת הרצף" ומסמנים אותה בדרך כלל ב-\mathfrak{c} או כ-2^{\aleph_0}. משפט יסודי של קנטור אומר שעוצמת קבוצת החזקה של A (הקבוצה של כל תת־הקבוצות של A) גדולה מעוצמת A. לכן תמיד יש עוצמה גדולה יותר.\n\n= אריתמטיקה של עוצמות =\nניתן להגדיר חיבור, כפל וחזקה של עוצמות על ידי בחירת קבוצות בעלות העוצמות המתאימות.\n- חיבור: |A|+|B| הוא העוצמה של האיחוד A\cup B, בתנאי שהקבוצות זרות (שאין להן איברים משותפים).\n- כפל: |A|\cdot|B| הוא העוצמה של המכפלה הקרטזית A\times B.\n- חזקה: |A|^{|B|} היא העוצמה של אוסף הפונקציות מ-B ל-A.\nתכונות רבות של פעולות אלה מתקיימות כמו אצל מספרים טבעיים. עם זאת, בעוצמות אינסופיות מופיעים תופעות מעניינות: למשל \aleph_0+n=\aleph_0 לכל n טבעי, וגם \aleph_0+\aleph_0=\aleph_0.\n\nאם מניחים את אקסיומת הבחירה (אקסיומה שתאפשר בחירות משתי קבוצות בכל שלב), מתקיים כלל נוח: אם לפחות אחת משתי העוצמות אינסופית והשנייה שונה מ-0, אז \kappa+\mu=\kappa\cdot\mu=\max\{\kappa,\mu\}. לכן העניין המרכזי הוא בסכומים ובמכפלות אינסופיים.\n\n= מספרים מונים =\nבהגדרה נייטיבית, כל עוצמה היא מחלקת שקילות של קבוצות באותה עוצמה. זה בעייתי במסגרת ZFC (מערכת אקסיומות סטנדרטית), כי מחלקות אינן תמיד קבוצות. אפשר לתקן זאת בשתי דרכים: בדרך כלל משתמשים ב'טריק' של דנה סקוט כדי לבחור נציגים ובכך להפוך כל עוצמה לקבוצה; אם מניחים אקסיומת הבחירה, מקובל לייצג כל עוצמה על ידי מונה של פון־נוימן.\n\nהמונים הם סודרים (סדר עשיר), וכך מוגדרת סדרת האלף: \aleph_0,\aleph_1,\aleph_2,\dots,\aleph_\omega,\dots . לכל קבוצה X אפשר למצוא מונה מסוג \aleph_\beta שלא נכנסת ל-X בהעתקה חד־חד־ערכית; זהו מספר הרטוגס של X.\n\nסדרת האלף היא "נורמלית" כלומר היא עולה ממש, ויש לה נקודות שבת שבהן \aleph_\mu=\mu עבור מונים מסוימים.\n

עוצמה היא המונח למידת הגודל של קבוצה.\nזה פשוט לקבוצות סופיות: העוצמה היא כמה איברים יש בקבוצה. למשל, קבוצת חודשי השנה יש לה 12 איברים.\n\nלעתים יש קבוצות אינסופיות. גם להן יש עוצמה.\nלמשל, לכל המספרים 1,2,3,... יש אותה עוצמה כמו לכל המספרים הזוגיים 2,4,6,... כי אפשר לזווג כל n עם 2n.\n\nקבוצה אינסופית מוגדרת כך שהיא חופפת לתת־קבוצה שלה.\nזה אומר שיש לה אותו מספר איברים כמו תת־קבוצה שלה.\n\nקאנטור, מתמטיקאי חשוב, הראה שתי תוצאות מעניינות:\n- המספרים הרציונליים (שברים) אפשר למנות לפי סדר מסוים, ולכן הם "בת־מנייה". (למנות=לרשום כל איבר לפי מקום בתור.)\n- המספרים הממשיים לא אפשר למנות. כלומר הם הרבה יותר רבים מהטבעיים.\n\nיש אינסופים שונים של גדלים. את עוצמת הטבעיים מסמנים ב-אלף אפס (\aleph_0).\nאת עוצמת הממשיים קוראים עוצמת הרצף ומסמנים אותה ב-c.\n\nגם אפשר לעשות פעולות על עוצמות, כמו חיבור וכפל, על ידי הסתכלות על קבוצות מתאימות.\nאבל עם אינסוף יש תוצאות מפתיעות, למשל \aleph_0 ועוד מספר סופי נותן \aleph_0 שוב.\n\nלסיום, יש דרך לייצג כל עוצמה על ידי מספר מיוחד שנקרא מונה.\nכך בונים סדרה של עוצמות שנקראת סדרת האלף: \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, ...\n