משפט נקודת השבת של בנך

משפט "נקודת השבת של בנך" נותן תנאי ברור לקיום נקודת שבת לפונקציות במרחב מטרי. מרחב מטרי הוא קבוצה שבה מודדים מרחק בין נקודות. המשפט נוסח על ידי סטפן בנך ב-1922.

אם (X,d) הוא מרחב מטרי שלם והפונקציה f:X→X היא העתקה מכווצת, כלומר קיים קבוע q עם 0≤q<1 כך ש־d(f(x),f(y))≤q·d(x,y) לכל x,y∈X, אז קיימת נקודת שבת יחידה x*∈X שמקיימת f(x*)=x*.

במקרה של הישר הממשי ניתן לומר בפשטות: אם תמיד המרחק בין f(x) ל־f(y) קטן ב־q מהמרחק בין x ל־y, אז המשוואה f(x)=x יש לה פתרון אחד ויחיד.

יתר על כן, הנקודה ניתנת לבנייה בשיטה איטרטיבית. נבחר נקודה התחלתית x0 ונגדיר x_{n+1}=f(x_n). סדרת הנקודות הזו מתכנסת לנקודת השבת x*. המרחק בין x* ל־x_n מוגבל על ידי: d(x*,x_n) ≤ (q^n/(1-q))·d(x1,x0). לכן המרחק קטן בקצב גאומטרי.

מגדירים את הסדרה x_{n+1}=f(x_n). מתכונת הכיווץ נותנת שדירוג המרחקים בין שכנים בסדרה קטן לפי q^n·d(x1,x0). סיכום של מרווחים אלה מראה שהסדרה היא סדרת קושי (Cauchy). בשל שלמות המרחב הסדרה מתכנסת לנקודה x*.
בגלל הרציפות שנובעת מהכיווץ נקבל f(x*)=x*. כדי להראות יחידות מניחים שתי נקודות שבת ומקבלים d(x*,y*) ≤ q·d(x*,y*). מאחר ש־q<1 חייב להיות d(x*,y*)=0, כלומר הנקודות שוות.

המשפט מוכיח קיום ויחידות של פתרונות למשוואות דיפרנציאליות ועוזר בהוכחות כמו משפט הפונקציה ההפוכה. בנוסף הוא כלי חשוב באנליזה מספרית לבניית קירובים לשורשי משוואות באמצעות שיטות איטרטיביות.

משפט בנך אומר שיש נקודה שקוראים לה נקודת שבת. זו נקודה שבה f נותנת חזרה את אותה נקודה. המשפט חשוב במתמטיקה מכיוון שהוא מבטיח שכל תהליך מסוים ימצא נקודה כזו.

אם עובדים במרחב שבו מודדים מרחקים ויש פונקציה שמקטינה תמיד את המרחק בין נקודות בערך קבוע q קטן מ־1, אז קיימת נקודת שבת אחת בלבד שמקיימת f(x)=x.

אם מתחילים מכל נקודה ומחברים אליה שוב ושוב את הפלט של f (כל פעם מפעילים את f על התוצאה הקודמת), נקבל סדרה שמתגבלת לנקודת השבת. המרחק בין התוצאה לנקודה הסופית קטן מהר יותר ויותר.

כל פעם שהופעל את f המרחק בין שתי תוצאות קטן לפי הכוח הבא. זה מראה שהנקודות מתקרבות אחת לשנייה. כי המקום שלם, סדרה שמתקבצת כזו מגיעה לנקודה אמיתית. אז f על הגבול נותנת את אותו הגבול.

משתמשים במשפט כדי למצוא פתרונות למשוואות ודברים בתכנות חישובי. הוא עוזר למצוא קרובים טובים לשורשים של משוואות.