משפט פיתגורס

משפט פיתגורס הוא משפט גאומטרי מפורסם שמתאר יחס בין צלעותיו של משולש ישר-זווית. במשולש כזה שתי הצלעות הקצרות שמציבות את הזווית הישרה נקראות ניצבים. הצלע הארוכה מול הזווית הישרה נקראת היתר. המשפט קובע שבמידה שאורכי הניצבים הם a ו-b ואורך היתר הוא c, אז ריבועי אורכי הניצבים מסתכמים לריבוע אורך היתר.

המשפט נקשר לשמו של פיתגורס, מתמטיקאי יווני מהמאה ה-6 לפנה"ס, אך רעיונות דומים היו ידועים בתרבויות קדומות. נמצאו עדויות במצרים, במסופוטמיה (בבל) ובהודו ובסין מאות שנים לפניו. בין הממצאים הבולטים: לוחות חרס בבבל (בעיקר הלוח המכונה Plimpton 322) ופפירוסים מצריים, וכן רשימות ושלשות פיתגוריות בספרות ההודית העתיקה (השולבה סוטרא).


העדויות מראות שהאנשים ידעו למצוא שלשות שלם של מספרים שמקיימות את היחס הזה. שלשה כזו נקראת שלשה פיתגורית: שלושה מספרים שלמים a,b,c שמקיימים את היחס של המשפט. הדוגמה המוכרת ביותר היא 3, 4, 5.

המתמטיקה היוונית, ובעיקר אוקלידס בספרו "יסודות" מהמאה השלישית לפנה"ס, נתנה למשפט נוסח והוכחות פורמליות. אוקלידס הציג הוכחה גאומטרית שמחשבת שטחים ומראה ששטח הריבוע על היתר שווה לסכום שטחי הריבועים על הניצבים.


למשפט פיתגורס קיימות הוכחות רבות ושונות. כמה דוגמאות מעניינות:
- אוקלידס הראה זאת על ידי חיבור והשוואת שטחים.
- דרך נוספת משתמשת בדמיון של שלושה משולשים קטנים שנוצרים בהורדת גובה ליתר.
- לאונרדו דה וינצ'י השתמש בסידור צורות והשוואת שטחים.
- הנשיא ג'יימס גרפילד המציא הוכחה על בסיס חישוב שטח של טרפז.

יש גם הוכחות שאינן גאומטריות, כמו הוכחה מבוססת חשבון דיפרנציאלי, הוכחות באמצעות אנליזה ממדית והרחבות ליניאריות במרחבי וקטורים.


המשפט ההפוך נכון גם הוא: אם משולש בעל צלעות a,b,c מקיים a^2+b^2=c^2 אז המשולש ישר-זווית. משמעות הדבר שהמשפט הוא כלי לבדיקה האם משולש הוא ישר-זווית.

משפט פיתגורס נמצא בשימושים רבים: חישוב מרחקים בקואורדינטות, הנוסחה למרחק בין שתי נקודות במישור, היסוד להגדרות האורכים של וקטורים, וחישובים בטריגונומטריה (למשל הזהות שמקשרת בין סינוס וקוסינוס במשולש ישר-זווית).

המשפט מאפשר גם בנייה גאומטרית של שורשים ריבועיים בעזרת סרגל ומחוגה. כך ניתן לבנות אורך של שורש כל מספר טבעי בהדרגה.


ישנן הכללות רבות של המשפט:
- משפט הקוסינוסים הוא הכללה למשולש כללי והוא הופך למשפט פיתגורס כאשר הזווית היא ישרה.
- יש גרסאות עבור מרחבים בעלי ממד גבוה יותר וממדים אחרים, למשל משפט דה גואה בפירמידות בעלות פינה ישרה.
- אפשר לנסח מקבילות בגאומטריות שאינן אוקלידיות (ספירית והיפרבולית) עם נוסחים מתאימים.


הרעיון המרכזי ברבות מההוכחות הוא חישוב אותו שטח בשתי דרכים שונות או השוואת צורות דומות. גישות אחרות משתמשות בדמיון משולשים, חפיפה, שיטות אנליטיות ופונקציות טריגונומטריות. הרבה הוכחות מודגמות על ידי חיתוך וריכוב מחדש של צורות.


משפט פיתגורס הפך לסמל של מתמטיקה יסודית. רבות מההוכחות המגוונות שלו מדגימות את העושר של החשיבה המתמטית, ואת הדרך שבה רעיון פשוט מקבל ביטויים ושימושים רבים בתחומים שונים.

משפט פיתגורס עוזר לדעת את הקשר בין שלוש צלעות של משולש עם זווית ישרה. צלעות הקטנות נקראות ניצבים. הצלע הארוכה נקראת היתר. אם יודעים את אורכי הניצבים, אפשר לחשב את אורך היתר.

הרעיון היה ידוע עוד במצרים ובבבל לפני פיתגורס. גם בהודו ובסין היו דוגמאות שלו. המתמטיקאים היוונים, כמו אוקלידס, כתבו הוכחות מסודרות.


יש שלשות של מספרים שלמים שעובדות ביחס הזה. הדוגמה הכי מפורסמת היא 3, 4 ו-5. אלה צלעות שמתאימות למשולש ישר-זווית.


יש הרבה דרכים להראות שהמשפט נכון. כמה דרכים משוות שטחים של צורות, ואחרות מחלקות משולשים לקטנים ומשוות ביניהם. גם אנשים מפורסמים כמו לאונרדו דה וינצ'י וראש ממשלה אמריקאי מצאו דרכים משלהם.


המשפט עוזר למדוד מרחקים במפה. הוא גם עוזר למצוא ערכים של סינוס וקוסינוס בזוויות כמו 30°, 45°, 60°. בעזרת סרגל ומחוגה אפשר לבנות אורך של שורש ריבועי.


יש משפט גדול יותר שמשתמש בקוסינוס שנקרא משפט הקוסינוסים. הוא עובד גם במשולש שלא בהכרח יש בו זווית ישרה.

משפט פיתגורס הוא כלי שימושי ויפה במתמטיקה. הוא הופיע בתרבויות רבות ושימש להמון בעיות פשוטות ומורכבות.