המשפט קובע שכל מספר טבעי ניתן לכתוב כמכפלה של מספרים ראשוניים, וכתיבה זו ייחודית עד שינוי סדר הגורמים. מספר ראשוני הוא מספר גדול מ‑1 שאין לו מחלקים פרט ל‑1 ולעצמו. גם המספר 1 נכלל: הוא נחשב ל"מכפלה ריקה" של גורמים.
דוגמה: 1176 = 2^3 · 3 · 7^2. פירוק זה הוא היחיד של 1176 כשכותבים אותו כמכפלת ראשוניים.
ההוכחה נחלקת לשני חלקים: קיום ויחידות. בשלב הקיום מראים, בדרך של אינדוקציה שלמה (הנחה על כל המספרים הקטנים), שכל מספר או שהוא ראשוני, או שהוא מכפלה של שני מספרים קטנים יותר. לכן אפשר לפרק את כל המספרים בצורה סופית לגורמי ראשוניים.
עיקר הרעיון: אם n אינו ראשוני, נכתוב אותו כמכפלה n = a·b כאשר 1
היחידות נשענת על למת אוקלידס: אם מספר ראשוני p מחלק מכפלה, אז הוא מחלק לפחות אחד מהגורמים במכפלה. בעזרת זה מראים שכל פירוק לפריימים של מספר נתון חייב להיות אותו פירוק עד לסדר הגורמים.
במבנים אלגבריים אחרים מגדירים שני מושגים קרובים: אי‑פריק (irreducible), איבר שלא ניתן לפצל לשתי יחידות שאינן הפיכות; וראשוני (prime), אם מחלק מכפלה הוא מחלק אחד הגורמים. בחוג המספרים השלמים שני המושגים חופפים, אבל לא תמיד בחוגים אחרים.
תחום שבו כל איבר מתפרק בצורה יחידה לגורמים אי‑פריקים נקרא "תחום פריקות יחידה" (UFD). דוגמאות בולטות: תחומים ראשיים (כוללים תחומים אוקלידיים) וחוגי פולינומים מעל שדה. יש גם תחומים שבהם קיום הפירוק או היחידות אינם מתקיימים.
יש קשרים נוספים: למשל משפט ז'ורדן‑הולדר על פירוקיות של חבורות הוא אנלוגי לפירוק הייחודי של איברים במבנים אחרים.
כל מספר טבעי ניתן לפרק ל"אבני בניין" מיוחדות שנקראות מספרים ראשוניים. מספר ראשוני הוא מספר הגדול מ‑1 שלא ניתן לחלק אותו בשום מספר חוץ מ‑1 ובעצמו.
דוגמה כיפית: 1176 נוצר מ‑2 כפול 2 כפול 2 כפול 3 כפול 7 כפול 7. זהו הפירוק היחיד שלו לפריימים.
אפשר להראות שכל מספר מתחלק לפריימים. אם מספר אינו ראשוני, מפצלים אותו לשני מספרים קטנים יותר, וממשיכים עד שמגיעים לפריימים.
גם מראים שהפירוק הוא תמיד אותו פירוק. אם יש שתי דרכים לפרק את אותו המספר לפריימים, אז כל פריים בצד אחד חייב להופיע בצד השני, ואז אפשר להשוות ולמחוק עד שנשארים אותם גורמים.
במתמטיקה יש מבנים אחרים שבהם רעיון הפירוק דומה. לפעמים המילים "ראשוני" ו"אי‑פריק" אומרות דברים קצת שונים, ולפעמים הן אותו הדבר. יש מבנים שבהם תמיד יש פירוק יחיד, ויש כאלה שבהם זה לא נכון.
תגובות גולשים