בחשבון האינפיניטסימלי קיים משפט של פייר דה פרמה שאומר: אם פונקציה גזירה בנקודה שממנה יש קיצון מקומי, אז הנגזרת בנקודה זו שווה אפס. גזירה פירושה שהנגזרת קיימת; הנגזרת היא השיפוע של המשיק לפונקציה בנקודה זו.
זה לא הופך את ההיפך לאמיתי תמיד: אפשר למצוא נקודות שבהן הנגזרת שווה אפס אך אין קיצון, למשל נקודת פיתול. כמו כן, ייתכן קיצון גם כאשר הנגזרת אינה מוגדרת.
נוכיח עבור מקסימום מקומי; ההוכחה למינימום דומה. אם x0 הוא מקסימום מקומי, אז קיימת סביבה קטנה סביבו שבה כל ערך הפונקציה קטן או שווה לערך ב־x0. לכן לכל שינוי קטן ב־x שמוביל לנקודה על ימין של x0 ההפרש f(נקודה) פחות f(x0) הוא שלילי או אפס. כאשר מחלקים את ההפרש בשינוי ה־x (זו המנה ההבדלית, שמתקרבת לנגזרת מצד ימין), התוצאה לא תעלה על אפס. באופן דומה, עבור שינויים קטנים משהו למצד שמאל המנה ההבדלית לא תהיה קטנה מ־אפס, ולכן הנגזרת מצד שמאל אינה קטנה מאפס. אם הפונקציה גזירה, הנגזרת מצד ימין שווה לנגזרת מצד שמאל, לכן שניהם חייבים להיות אפס.
עבור פונקציה של כמה משתנים בודקים כל משתנה בנפרד: משאירים את שאר המשתנים קבועים ובוחנים כל משתנה יחיד. על פי המשפט לעיל הנגזרות החלקיות לפי כל משתנה יתאפשו באפס בנקודת הקיצון. לכן הגרדיאנט (וקטור כל הנגזרות החלקיות) הוא וקטור האפס.
לפי פרמה, אם פונקציה חלקה יש לה "שיפוע" בנקודה. שיפוע זה נקרא נגזרת. אם בנקודה יש פסגה או שקע מקומי, השיפוע יהיה אפס. זוהי דרך לומר שהמשיק לפונקציה שם ישר ואופקי.
זה לא אומר שכל נקודה עם שיפוע אפס היא פסגה. לפעמים השיפוע אפס אבל אין פסגה.
ניקח פסגה מקומית. סביב הפסגה כל הנקודות קרובות לה הן נמוכות יותר. אם נזיז קצת ימינה, ההפרש יראה ששיפוע מצד ימין קטן או שווה לאפס. אם נזיז קצת שמאלה, השיפוע מצד שמאל גדול או שווה לאפס. אם שני הצדדים שווים, השיפוע חייב להיות אפס.
אם יש כמה משתנים, בודקים כל כיוון בנפרד. בכל כיוון השיפוע חלקי צריך להיות אפס. לכן כל ה"שיפועים" יחד, שנקראים גרדיאנט (הווקטור של כל השיפועים), הם אפס.
