משפט קיילי

משפט קיילי קובע שכל חבורה איזומורפית לתת־חבורה של חבורה סימטרית. כלומר, אפשר לראות כל חבורה כחבורה של תמורות (permutations), כלומר הפעלות שמחליפות את איברי הקבוצה.

אווריסט גלואה כבר ראיין את החבורות כקבוצות של תמורות. ב־1854 ארתור קיילי ניסח את ההגדרה האקסיומטית של חבורה והבחין שכל איבר פועל כתמורה על איברי החבורה. הוכחה מפורשת מיוחסת לקאמי ז'ורדן משנת 1870 (צוין אצל ברנסייד).

אם |G|=n, אפשר לשכן את G כתת־חבורה של S_n. ההטמעה משתמשת ב"הפעולה הרגולרית" של G על עצמה: כל g שולט על האיברים על־ידי כפל משמאל. הכללה חשובה: אם ל‑G יש תת־חבורה H מאינדקס n (האינדקס = מספר המחלקות השמאליות G/H), אז קיימת הומומורפיזם φ: G→S_n. הגרעין של φ הוא הליבה של H, החיתוך של כל הצמידים של H. הפעולה על קבוצת המחלקות G/H לפי g:xH↦gxH נותנת את המיפוי.

מסקנה ישירה היא ש־G/ker(φ) שוכנת ב־S_n, ולכן [G:ker(φ)] מחלק את n!. בפרט, חבורה פשוטה לא־אבלית שיש לה תת־חבורה מאינדקס n משוכנת ב‑S_n, ולכן סדרה מחלק את n!.

לכל g∈G נגדיר f_g:G→G על־ידי f_g(x)=g*x. כל f_g היא תמורה: היא חד־־חד־ערכית ועל. המיפוי g↦f_g הוא הזרקה, ולכן שוכן G בתוך חבורת התמורות של G.

נבחר G=Z_4 (המספרים 0, 3 עם חיבור מודולו 4). כל i ב‑Z_4 מייצר תמורה ב‑S_4 שמעבירה j ל‑i+j (חיבור מודולו 4). בדרך זו מתקבל תת־חבורה של S_4 איזומורפית ל‑Z_4.

משפט קיילי אומר: כל חבורה אפשר לראות כקבוצה של החלפות. החלפה היא שינוי הסדר של איברים.

גלואה ראה חבורות דרך החלפות. קיילי ב־1854 כתב שלכל איבר יש פעולה שמחליפה איברים. אחר־כך ז'ורדן נתן הוכחה מפורשת.

לכל איבר g מגדירים פעולה f_g שמקבלת x ומחזירה g*x. פעולה זו מחליפה את כל האיברים בצורה אחת־על־אחת. כך כל איבר הופך להחלפה, וחושבים את כל החבורה בתוך קבוצת החלפות.

החבורה Z4 היא המספרים 0,1,2,3 עם חיבור עיגול (מודולו 4). כל מספר מזיז את שאר המספרים בלולאה. לכן Z4 נכנסת כחבורה של החלפות בתוך קבוצת כל ההחלפות של 4 פריטים.