משפט ראו-בלקוול

משפט ראו-בלקוול הוא משפט מרכזי בתורת האמידה.

תורת האמידה עוסקת בהערכת פרמטרים של התפלגויות שלא ידועים במדויק. כדי לאמוד משתמשים באומד, כלומר בכלל שמחשב ערך לפרמטר מתוך מדגם. אומד חסר הטיה (התוחלת שלו שווה לפרמטר) מועדף בדרך-כלל. כדי להשוות בין אומדים בוחנים את שונותם: שונות קטנה יותר משמעה אומד יציב יותר.

סטטיסטי הוא פונקציה מהמדגם, למשל סכום הערכים. סטטיסטי מספיק הוא סטטיסטי שמכיל את כל המידע על הפרמטר שניתן להשיג מהמדגם. כלומר, אחרי שמכירים את ערכו של הסטטיסטי, ההתפלגות המותנית של המדגם אינה מוסיפה מידע על הפרמטר.

דוגמה: מספר שגיאות כתיב בעמודים מתפלג לפי פואסון עם פרמטר λ שווה לתוחלת. אם סופרים שגיאות בעשרה עמודים, הסכום הכולל S הוא סטטיסטי מספיק. לדעת S מספיק כדי לחשב סיכויים על אירועים במדגם.

נניח ש-S הוא סטטיסטי מספיק ו-T הוא אומד חסר הטיה של הפרמטר. נגדיר T' להיות התוחלת המותנית של T לפי S, כלומר T' = E(T|S). אז:
1. T' גם הוא חסר הטיה.
2. T' תלוי ב-S בלבד.
3. עבור כל ערך של הפרמטר, השונות של T' קטנה או שווה לשונות של T.
4. אם T' שונה מ-T עם הסתברות חיובית, אז השונות של T' קטנה באופן ממשי עבור חלק מערכי הפרמטר.
מובן שהמקרה היחיד שבו לא משתפרים הוא כאשר T כבר תלוי במדגם רק דרך S.

אם S הוא גם סטטיסטי שלם, משפט להמן-שפה אומר ש-T' הוא בעל שונות מינימלית מבין כל האומדים חסרי ההטיה, ולפיכך הוא האומד הטוב ביותר (במובן זה).

ההוכחה מבוססת על פירוק השונות:
V(T) = V(E(T|S)) + E(V(T|S)) = V(T') + E(V(T|S)) ≥ V(T').
מכאן נובע ש-V(T') ≤ V(T), עם אי-שוויון חזק אם E(V(T|S))>0.

ראו-בלקוול הוא רעיון שעוזר לשפר אומד.

אומד הוא כלל שמחשב מספר מהמדגם כדי לנחש פרמטר לא ידוע. אומד חסר הטיה אומר שהתוצאה הממוצעת שלו שווה לפרמטר הנכון. שונויות קטנה יותר טובה, כי התוצאות פחות משתנות.

סטטיסטי הוא מספר שמחושב מהדוגמה, למשל סכום. אם הסטטיסטי מספיק, אז הוא שומר את כל המידע על הפרמטר. דוגמה פשוטה: מספר שגיאות כתיב בעמודים. אם סופרים את כל השגיאות בעשרה עמודים, הסכום S מספיק כדי להעריך את הפרמטר.

אם יש סטטיסטי מספיק S ואומד T חסר הטיה, עושים אומד חדש כך: מחשבים את הממוצע של T רק בין הדגימות שיש להן את אותו S. האומד החדש נקרא T'.
T' גם הוא חסר הטיה. הוא תלוי רק ב-S. הוא פחות או לא יותר משתנה ממ- T. אם T' שונה מ-T, אז הוא בדרך כלל טוב יותר.

ההוכחה משתמשת בחלוקה של השונות לשני חלקים. זה מראה שחלקו של T' קטן או שווה, ולכן T' עדיף או שווה ל-T.