משפט רושה

משפט רושה

המשפט קרוי על שם המתמטיקאי אז'ן רושה. הוא כלי באנליזה מרוכבת שמסייע להשוות שתי פונקציות ולגלות שהן בעלות אותו מספר אפסים בתחום מסוים. המושג "הולומורפית" פירושו פונקציה שניתן לגזור אותה בכל נקודה במישור המרוכב.


יהי D אזור פתוח שמקיף אותו גבול פשוט, למשל מעגל. יהיו f ו-h פונקציות הולומורפיות ב-D ורציפות על הגבול. אם על כל נקודה z בגבול מתקיים |f(z)-h(z)| < |h(z)|, אזי f ו-h מכילות את אותו מספר אפסים בתוך D. אפס נספר לפי ריבויו, כלומר כמה פעמים הוא חוזר.


נבחן f(z)=3z+e^z ו-h(z)=3z בעיגול היחידה |z|=1. על הגבול |f-h|=|e^z| ובגלל ש-|e^z|<3, התנאי של רושה מתקיים. ל-h יש אפס יחיד בתוך המעגל, לכן גם ל-f יש אפס יחיד שם.


מגדירים משפחת פונקציות h_t(z)=(1-t)h(z)+t f(z) עבור t בין 0 ל-1. כל h_t הולומורפית ב-D ורציפה על הסגר. על הגבול אין נקודה שבה h_t שווה לאפס, משום שהנחת אי השוויון והאי-שוויון המשולש ההפוך מבטיחים |h_t(z)|>0 שם. לפי עקרון הארגומנט, מספר האפסים של כל h_t זהה לערך של אינטגרל מסוים על הגבול. נגדיר φ(t) כאותו אינטגרל. φ רציפה ב-t ומקבלת רק ערכים שלמים, לכן לא יכולה להשתנות על הקטע [0,1]. מסקנה: φ(0)=φ(1), כלומר מספר האפסים של h שווה למספר האפסים של f.

משפט רושה

משפט רושה עוזר לבדוק מתי לשתי פונקציות יש את אותו מספר נקודות שבהן הן שוות לאפס. הולומורפית זה שם לפונקציה שמקיימת "גזירה" במישור המספרים המרוכבים. גזירה זו דומה למציאת שיפוע.


נניח שיש אזור עם גבול פשוט, כמו מעגל. אם שתי פונקציות מתנהגות קרוב מאוד זו לזו על הגבול, אז הן יש להן אותו מספר אפסים בפנים. ריבוי של אפס אומר כמה פעמים אותו אפס חוזר.


קחו פונקציה שמוגדרת על ידי 3 פעמים z ועוד e בחזקת z, ואת h שמוגדרת על ידי 3 פעמים z בלבד. על המעגל שבו |z|=1 הערך של e בחזקת z קטן מ-3. זאת אומרת שההפרש בין הפונקציות קטן. לכן יש להן את אותו מספר אפסים בתוך המעגל. ל-h יש אפס אחד בתוך המעגל, ולכן גם ל-f יש אפס אחד.


בונים שלב-שלב פונקציה שמחברת את h עם f בעזרת פרמטר t בין 0 ל-1. הפונקציה הזאת אף פעם לא שווה לאפס על הגבול. יש כלל שנקרא עקרון הארגומנט. הוא מאפשר לספור אפסים בעזרת סיבוב ערכים סביב הגבול. המספר שמקבלים חייב להישאר שלם ולהיות רציף, לכן הוא לא משתנה. לכן מספר האפסים של h שווה לזה של f.