פונקציה הולומורפית
פונקציה הולומורפית היא פונקציה של מספרים מרוכבים. מספר מרוכב הוא מספר עם שני חלקים:\nחלק ממשי וחלק מדומה. פונקציה הולומורפית ניתנת לגזירה בכל נקודה בסביבה שלה. גזירה כאן אומרת שאפשר לחשב "שיפוע" של הפונקציה במובן מיוחד. עיקרון חשוב: הנגזרת של פונקציה הולומורפית לא תלויה בדרך שבה מתקרבים לנקודה. ז...
העתקה קונפורמית
באנליזה מרוכבת העתקה קונפורמית שומרת על זוויות בין עקומים. פונקציה הולומורפית היא פונקציה למספרים מרוכבים שיש לה נגזרת. אם הנגזרת אינה אפס, ההעתקה היא חד־חד־ערכית מקומית. זה אומר שלא שתי נקודות שונות יעברו לאותה נקודה קרובה. משפט רימן אומר: שני תחומים עם שפה מסודרת אפשר להמיר אחד לשני בעזרת העתקה כז...
נוסחת האינטגרל של קושי
נוסחת האינטגרל של קושי אומרת כך: אפשר לדעת מה הפונקציה שווה בפנים של עיגול רק מהערכים על השפה של העיגול. פונקציה שכזו נקראת הולומורפית. זה אומר שאפשר למצוא לה נגזרת במובן מיוחדת למספרים מרוכבים. אם יש עיגול בתוך קבוצה פתוחה והפונקציה הולומורפית בתוכו, אז ערך הפונקציה בכל נקודה בפנים נקבע על ידי האי...
משפט קזוראטי-ויירשטראס
משפט קזוראטי-ויירשטראס הוא רעיון במתמטיקה של המספרים המרוכבים. השם מגיע משני מתמטיקאים חשובים, קזוראטי וויירשטראס. ברוסיה קוראים לו גם על שם סוחוצקי. קיימת פונקציה מיוחדת f של מספרים מורכבים. היא מתנהגת טוב בכל מקום חוץ מנקודה אחת שנקראת סינגולריות עיקרית. המשפט אומר: אם מתקרבים לנקודה הזאת, התמונו...
משפט רושה
משפט רושה משפט רושה עוזר לבדוק מתי לשתי פונקציות יש את אותו מספר נקודות שבהן הן שוות לאפס. הולומורפית זה שם לפונקציה שמקיימת "גזירה" במישור המספרים המרוכבים. גזירה זו דומה למציאת שיפוע. נניח שיש אזור עם גבול פשוט, כמו מעגל. אם שתי פונקציות מתנהגות קרוב מאוד זו לזו על הגבול, אז הן יש להן אותו מספר...
פונקציה מרומורפית
פונקציה מרומורפית טובה בכל מקום חוץ ממספר נקודות בודדות. טובה פה אומרת שהיא חלקה וניתנת לחשבון. בנקודות הבעייתיות היא יכולה "לקפוץ" ולגדול בלי סוף. קפיצה כזו קוראים לה קטב. קטב הוא נקודה שבה הערך לא רגיל. אפשר לכתוב פונקציה מרומורפית כחילוק של שתי פונקציות חלקות. הנקודות שבהן המכנה שווה לאפס הן ...
פונקציה שלמה
פונקציה שלמה היא פונקציה שמוגדרת ו"מתאימה" לכל מקום במישור המרוכב (מקום של מספרים עם חלק דמיוני). הולומורפית פירושו שאפשר לחשב לה נגזרת בכל נקודה (נגזרת = קצב שינוי). דוגמאות שאפשר להכיר: פולינומים ופונקציית האקספוננט. גם סינוס וקוסינוס הם דוגמאות, כי הם קשורים לאקספוננט לפי נוסחת אוילר. כל פונקצי...
משפט האינטגרל של קושי
אם פונקציה במישור המרוכב ניתנת לגזירה בכל מקום בתוך אזור סגור, אז האינטגרל שלה על כל מסלול סגור בתוך האזור הוא 0. כלומר אם מסתובבים סביב מסלול שמוקף כולו על ידי האזור, סכום השינויים הוא אפס. דרך אחת להוכיח זאת מפרקת את הפונקציה לשני חלקים: אחד ממשי ואחד מדומה. אז משתמשים בכללים שמקשרים בין אינטגר...
משפט ליוביל (אנליזה מרוכבת)
משפט ליוביל אומר: אם פונקציה מיוחדת ניתנת לגזירה בכל מקום ונשארת קטנה תמיד, היא חייבת להיות קבועה. גרסה מוקדמת של המשפט הוכחה על ידי ז'וזף ליוביל ב-1847. ניתן לראות את הנגזרת של הפונקציה כאמצע של הערכים שלה על מעגל סביב נקודה. אם הערכים של הפונקציה לא גדלים בכלל, אז כשהמעגל גדול מאוד הממוצע יתקרב ...
פונקציה אנליטית
פונקציה אנליטית היא פונקציה שאפשר לכתוב כסכום של חזקות של x. טור חזקות זה הוא כמו סכום של הרבה מונחים עם x, x^2, x^3 ועוד. אם הסכום הזה עובד בסביבה של נקודה, הפונקציה אנליטית שם. מבחן השורש (בדיקה של טורים) מראה שאפשר לגזור טור חזקות מונח־מונח. לכן פונקציה אנליטית ניתנת לגזירה הרבה פעמים. דוגמה קלה...
משפט דה ברנז'
משפט דה ברנז' היה פעם השערת ביברבך. ביברבך הציע אותה ב-1916. לואי דה ברנז' הוכיח אותה ב-1985. מדובר בפונקציה על עיגול סביב האפס. פונקציה אוניוולנטית פירושה: היא לא נותנת את אותו ערך לשתי נקודות שונות. הולומורפית פירושה: אפשר לחשב לה נגזרת. כשהפונקציה נכתבת כסדרה של חזקות, יש לה סדרות של מספרים שנקרא...