משפטי ויירשטראס

שני משפטי ויירשטראס הם עקרונות מרכזיים בחשבון אינפיניטסימלי. הם עוסקים בפונקציות רציפות (שאין בהן קפיצות בערכים) המוגדרות על קטע סגור וחסום. המשפט הראשון קובע: פונקציה רציפה על קטע סגור היא חסומה שם, כלומר ערכיה לא הולכים לאינסוף. המשפט השני מוסיף: פונקציה כזו מקבלת ערכי מינימום ומקסימום בתוך הקטע, כלומר יש נקודות שבהן היא שווה לחסם התחתון ולעילון בהתאמה.

הגבולות של התכונות האלה מוחמרים אם הקטע אינו סגור. למשל, הפונקציה שמקבלת מספר x ומחזירה 1 חלקי x רציפה על (0,1) אך אינה חסומה שם. לעומת זאת הפונקציה שמחזירה את x עצמה חסומה על (0,1) אך לא מקבלת שם מינימום או מקסימום.

שני המשפטים חלים גם בפונקציות של כמה משתנים. בהקשר זה משתמשים במושג קומפקטיות: קומפקטית = קבוצה סגורה וחסומה ב-R^n. אם תחום ההגדרה קומפקטי, התמונה של פונקציה רציפה היא קומפקטית גם היא. לכן היא חסומה ומגיעה לערכי המקסימום והמינימום שלה.

נניח שפונקציה רציפה f על הקטע A=[a,b] אינה חסומה. אז לכל מספר טבעי n יש נקודה x_n ב-A עם f(x_n)>n. לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרה זו יש תת-סדרה מתכנסת x_{n_k} שגבולה x שייך ל-A כי A סגורה. מכיוון ש-f רציפה נקבל שגבול הערכים הוא f(x)=+∞, וזה בלתי אפשרי. לכן f חסומה על A.

מהמשפט הראשון folgt שהפונקציה חסומה. נגדיר s=
הסופרים של ערכי f. קיימת סדרה של נקודות x_n עם f(x_n)
מתקרב ל-s. לפי בולצאנו-ויירשטראס יש לה תת-סדרה מתכנסת x_{n_k} עם גבול x_0\in A. רציפות f מבטיחה ש-f(x_{n_k}) מתכנסת ל-f(x_0), ולכן f(x_0)=s. כך מצאנו נקודת מקסימום.

נוסח אלטרנטיבי משתמש בכך שאם s הוא חסם עליון שלא מתקבל, אז הפונקציה 1/(s-f(x)) רציפה וחיובית על הקטע, ולכן חסומה מהעל. זה מוביל לסתירה עם היותו חסם עליון.

באופן כללי, תמונה של קבוצה קומפקטית תחת פונקציה רציפה היא קומפקטית. בקו הריאלי קבוצה קומפקטית היא סגורה וחסומה ולכן כוללת חסמים עליונים ותחתונים. לכן פונקציה רציפה על קבוצה קומפקטית מקבלת מינימום ומקסימום. כדי להרחיב לתתי-מרחבים ב-R^n משתמשים במשפט היינה-בורל שקובע שקבוצות סגורות וחסומות הן קומפקטיות.

יש שני משפטים חשובים על פונקציות רציפות (פונקציה ששינוי קטן בקלט מביא לשינוי קטן בתוצאה). הם מדברים על פונקציות המוגדרות על קטע סגור וחסום, כלומר על טווח מספרים שאפשר לסגור בשתי נקודות.

המשפט הראשון: פונקציה כזאת לא יכולה לגדול בלי סוף. זאת אומרת, כל הערכים שלה נשארים בתוך גבול מסוים.

המשפט השני: היא גם מגיעה לערך הכי קטן וערך הכי גדול בתוך הקטע. יש נקודה שבה היא שווה למקסימום, ויש נקודה אחרת שבה היא שווה למינימום.

דוגמאות קצרות: על קטע פתוח אפשר למצוא פונקציה שלא חסומה. למשל פונקציה שנותנת לכל מספר x את המספר 1 חלקי x, היא לא חסומה על (0,1). ודוגמא אחרת: הפונקציה שמחזירה את המספר עצמו חסומה על (0,1) אך אין לה שם נקודת מינימום או מקסימום בתוך הקטע.

נניח שהפונקציה לא חסומה. אז אפשר לבחור תמיד נקודות שהערכים בהן גדלים בלי סוף. מהן אפשר לקחת תת-רשימה שמתקדמת אל נקודה בתוך הקטע. כי הקטע סגור, הגבול שייך לקטע. הרציפות של הפונקציה אומרת שהערכים גם יתקדמו אל הערך של אותה נקודה. זה לא יכול להיות אינסוף. לכן הפונקציה חייבת להיות חסומה.

רעיון ההוכחה: למצוא סדרה של נקודות שבה הערכים מתקרבים לחסם העליון. לקחת מתוכה תת-רשימה שמתכנסת לנקודה בתוך הקטע. הרציפות מבטיחה שהערך בנקודה הזו שווה לחסם העליון. כך נמצאת נקודת מקסימום. אפשר גם להוכיח זאת בדרך אחרת בעזרת חישוב עם פונקציה הפוכה, שמובילה לסתירה אם אין נקודת מקסימום.

אם תחום ההגדרה הוא קבוצה קומפקטית (זה אומר שהיא סגורה וחסומה), אז תמונת פונקציה רציפה היא גם קומפקטית. על הישר קומפקטיות משמעה שהקבוצה חסומה וסוגרת בתוכה את הגבולות שלה. לכן הפונקציה מקבלת מינימום ומקסימום.