פונקציה הרמונית

פונקציה הרמונית היא פונקציה f:U→ℝ, כאשר U קבוצה פתוחה ב-ℝ^n, שמקיימת את משוואת לפלס.
משוואת לפלס היא משוואה דיפרנציאלית חלקית (משוואה עם נגזרות לפי כמה משתנים) שאומרת שסכום הנגזרות השניות של הפונקציה לפי כל הצירים שווה אפס:
∇²f = ∂²f/∂x₁² + ∂²f/∂x₂² + … + ∂²f/∂x_n² = 0.
פונקציה שעבורה הביטוי הזה הוא לא שלילי בכל נקודה נקראת פונקציה תת-הרמונית. פונקציה שעבורה הביטוי הוא לא חיובי בכל נקודה נקראת על-הרמונית.
בממד אחד משוואת לפלס מקצרת לנגזרת השנייה שווה אפס. מכאן שפונקציות הרמוניות במימד אחד הן ליניאריות: קוי ישר עם שיפוע וקבוע.
בשני ממדים המשוואה היא ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² = 0. קיימות פונקציות רבות שמקיימות משוואה זו; הן נקראות פונקציות הרמוניות דו־ממדיות.
בשלושה ממדים המשוואה היא ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² + ∂²f/∂z² = 0.
משוואה זו חשובה בפיזיקה: פוטנציאל חשמלי באזור ללא מטען חשמלי הוא פונקציה הרמונית. באופן דומה, פוטנציאל של שדה כבידה במקום ללא מסה הוא הרמוני.

פונקציה הרמונית היא סוג של פונקציה במתמטיקה ובפיזיקה.
היא עושה משהו מיוחד: סכום השינויים השניים שלה לפי כל הכיוונים שווה אפס. שינוי שני זה אומר כמה השינוי עצמו משתנה.
בממד אחד זה אומר שהפונקציה היא קו ישר. קו ישר הוא פונקציה עם שיפוע וקבוע.
בשני ממדים יש חוק דומה עם שני כיוונים. יש פונקציות שעונות על החוק הזה.
בשלושה ממדים החוק כולל שלושה כיוונים. חוק זה מופיע בפיזיקה.
פוטנציאל של שדה חשמלי במקום שאין בו מטען הוא פונקציה הרמונית. כך גם פוטנציאל של שדה כבידה במקום שאין בו מסה.