נקודה (גאומטריה)

בגאומטריה, נקודה היא מושג יסודי שמציין מיקום מדויק במרחב. לנקודה אין ממד (ממדי המרחב הם מספר הכיוונים החופשיים; 0 לנקודה, 1 לישר, 2 למישור, 3 למרחב). בהקשרים טופולוגיים (ענף במתמטיקה שחוקר תכונות של מרחבים שֶלמותמרות רציפות) כל איבר של המרחב נקרא נקודה.


באקסיומות של הגאומטריה האוקלידית (חוקים בסיסיים שמגדירים את המושגים הגאומטריים) הנקודה מוגדרת על ידי תכונותיה בלבד. כלומר, היא מתקיימת בתור עצם שמקיים את האקסיומות הייעודיות.


מבחינה היסטורית, מושג הנקודה עורר דיון. היוונים טענו שקו אינו מורכב מנקודות בודדות, והציגו פרדוקסים כמו פרדוקסי זנון, שמעמידים בספק חלוקה אינסופית. באופן דומה, תורת האטומים הציעה יחידות בלתי ניתנות לחלוקה, אך עם גודל.

במאה ה־17 מדענים כמו גליליאו וניוטון קיבלו את הרעיון של נקודות כשימושי לתיאור הטבע. ניוטון פיתח את החשבון האין-סופי (אינפיניטסימל, מושג של חלקים זעירים מאוד) כדי לחשב שינויים ושטחים.

מאוחר יותר ניסו לבסס גאומטריה על האנליזה והממשיים, כמו בדקארט שביסס את מערכת הצירים הקרטזית (ייצוג נקודה בעזרת מספרים). עבודתו של קאנטור בתורת הקבוצות הראתה שהמספרים הממשיים דורשים בנייה אינסופית, ולכן לא כל השאלות נפתרו.

דויד הילברט הציע להגדיר את הנקודה דרך אקסיומות בלבד, וכך הימנע מפרדוקסים לוגיים לגבי קיומה כמושג מוגדר. עם זאת, שאלות פילוסופיות על טבע הקיום של הנקודה, בין גישה המאמינה ב'אקטואליזם' (קיום אינסופים כאמיתיים) לבין 'פוטנציאליזם' (אינסוף כתהליך מתמשך), נותרו פתוחות.

נקודה היא מקום מדויק במרחב. היא אין לה גודל. בראשון אין אורך, רוחב או עומק.


בגאומטריה משתמשים בחוקים פשוטים שקובעים מהי נקודה. החוקים הללו קוראים אקסיומות. אקסיומה היא חוק בסיסי שאינו מוכח.


בני יוון תהו אם קו עשוי מנקודות. זנון (פילוסוף) הציג פרדוקסים על חלוקה אינסופית. זה אומר שממש קשה להבין איך חלקים קטנים בונים משהו ארוך.

מאוחר יותר מדענים כמו ניוטון השתמשו בנקודות כדי לבנות חשבון אינפיניטסימלי. חשבון זה עובד עם חלקים מאוד קטנים. דקארט לימד לכתוב נקודה בעזרת מספרים, כמו זוג מספרים שמראה מיקום על מפה.

מאוחר יותר מתמטיקאים הגדירו נקודה דרך החוקים הבסיסיים בלבד. עדיין יש דיונים פילוסופיים האם אינסוף קיים באמת, או שהוא רעיון שעוזר לחשוב.