סיגמא-אלגברה
סיגמא-אלגברה היא אוסף של קבוצות בתוך קבוצה גדולה X. 1. יש בה תמיד את הקבוצה הריקה. הקבוצה הריקה לא כוללת אף איבר. 2. אם יש קבוצה במשפחה, גם המשלים שלה שייך. המשלים הוא כל מה שב‑X ולא שייך לקבוצה. 3. אם יש רשימה (אינסופית) של קבוצות מהמשפחה, אפשר לאחד אותן והאיחוד שייך אף הוא. כאשר מצמידים לסיגמ...
אלגברה של קבוצות
אלגברה של קבוצות (שדה של קבוצות) היא אוסף של קבוצות בתוך קבוצה גדולה שנקראת X. אם קבוצה נמצאת באלגברה, גם ההשלמה שלה נמצאת שם. ההשלמה פירושה: כל האיברים שב־X שאינם בקבוצה. אם מחברים מספר קבוצות אחדות, האיחוד שלהם גם נמצא באלגברה. איחוד סופי פירושו חיבור של כמה קבוצות. דוגמה פשוטה: כל האיחודים הסו...
סגירות (אלגברה)
קבוצה היא אוסף של דברים. היא "סגורה" תחת פעולה כאשר הפעולה שנותנת תמיד דבר מהאוסף. פעולה היא חוק שעושה משהו לשני איברים ומחזיר איבר חדש. דוגמאות לפעולות: חיבור וכפל. מספרים שלמים חיוביים סגורים לחיבור ולכפל. זה אומר: חיבור או כפל של שני מספרים חיוביים נותן שוב מספר חיובי. הם לא סגורים לחיסור ולחיל...
מרחב מדיד
מרחב מדיד הוא מקום שיש בו קבוצות שמודדים. יש רשימה מיוחדת של קבוצות שמכונה סיגמא-אלגברה. זה אומר שאם מחברים קבוצות רבות יחד, או לוקחים את ההפך מהן, הן נשארות ברשימה. מרחב בדיד הוא כזה שכל תת־קבוצה בו נחשבת למדידה. אם המרחב בן־מניה, כלומר אפשר לספור את האיברים, אז המידה נקבעת לפי נקודות בודדות. אבל...
מידה (מתמטיקה)
מידה היא חוק שנותן גודל לקבוצות. הגודל יכול להיות מספר או ∞. זה כמו למדוד אורך, נפח או סיכוי. יש אוסף של קבוצות שנקרא סיגמא-אלגברה (אוסף שבו אם יש קבוצות, גם האיחוד שלהן נמצא בו). מידה נותנת מספר לכל קבוצה מתוך האוסף. אם קבוצות אינן חופפות, המידה של האיחוד שלהן שווה לסכום המידות. אם קבוצה אחת בתוך...
מרחב הסתברות
'מרחב הסתברות' כולל שלושה חלקים פשוטים. Ω הוא כל התוצאות האפשריות. F הוא אוסף של קבוצות של תוצאות. קבוצות אלה נקראות מאורעות. P נותנת לכל מאורע מספר בין 0 ל‑1. הכל ביחד מקבל את המספר 1. דוגמה 1: Ω = {1,2,3,4,5,6}, תוצאת קוביה. מאורע: "התוצאה היא 2 או 6". ההסתברות היא 1/3. הקבוצה 1/7 לא נכללת כאן,...
אקסיומות ההסתברות
אקסיומות ההסתברות הן כללים פשוטים שמגדירים איך נותנים מספרים להסתברות. המפורסם שבהן נקרא קולמוגורוב. Ω הוא מרחב המדגם, כל התוצאות האפשריות. 𝓕 היא סיגמא-אלגברה (רשימת המאורעות שאנו מחשבים להן הסתברות). P היא פונקציה שמאגדת את המספרים האלה. הכללים הם: - לכל אירוע ההסתברות לא שלילית. זה אומר P(E) ≥...
מידת לבג
מידת לבג אומרת כמה "אורך" יש לקבוצה על הישר. השם מגיע מהמתמטיקאי אנרי לבג. זו פונקציה שמודדת קבוצות על הישר. היא נותנת לכל קטע את האורך שלו. אורך של הקטע [a,b) הוא b-a. כדי למדוד קבוצות מסובכות מכסים אותן בקטעים. מודדים את סכום האורכים של הקטעים. לוקחים את הערך הקטן ביותר האפשרי. כך מקבלים את ה...