עד כדי (מתמטיקה)

במתמטיקה הביטוי "עד כדי" מציין השוואה שבה מתעלמים במכוון ממאפיינים מסוימים. למשל, "עד כדי סימן" אומר ששני מספרים זהים בערכם המוחלט, כלומר ייתכן שהסימן שונה אך הגודל זהה. באופן כללי המושג יוצר מחלקות שקילות (קבוצות של עצמים שמטילים עליהם יחס שקילות). כך אומרים שיש שדה יחיד בגודל 16 עד כדי איזומורפיזם, כלומר כל השדות האלה זהים מבחינת המבנה שלהם.

באריתמטיקה המשפט היסודי אומר שלכל מספר טבעי יש פירוק יחיד לגורמים ראשוניים, עד כדי סדר הגורמים (הסדר אינו משנה). בדוגמאות אלגבריות, דיסקרימיננטה של תבנית ריבועית מוגדרת עד כדי ריבועים. זאת אומרת שהיא מוגדרת כחלק מחבורת המנה F^{×}/(F^{×})^2, כלומר כחפיפה של איברים זהים כשמוסיפים להם ריבועים של השדה.

במדעים ניסויים משתמשים בביטוי גם כאשר מדדו משהו בקירוב. "עד כדי סדר גודל" משמעו עד לטעות של פי עשרה לכל כיוון. למשל, רדיוס גרעין האורניום (כ-8·10^{-15} מטר) נרושם לעיתים כ-10^{-14} מטר עד כדי סדר גודל. בניסוי של רתרפורד מצאו שרדיוס גרעין הזהב כ-10^{-15} מטר, וערך זה עזר להפריך את מודל עוגת הצימוקים.

הביטוי מופיע גם כשמציגים תלות פונקציונלית בלי המקדמים הקבועים. לדוגמה נפח כדור תלוי ברדיוס בחזקה שלוש, V ∼ R^3, כאשר הקבוע הוא 4π/3. דוגמה נוספת: האנרגיה במתנד הרמוני פרופורציונית לריבוע האמפליטודה, עד לפקטור 1/2·k (k הוא קבוע הקפיץ).

"עד כדי" משמש כשמשווים דברים ומתעלמים מפרטים קטנים. "עד כדי סימן" אומר שהגודל זהה, אולי הסימן שונה. לפעמים אומרים ששדות או מבנים אחרים זהים מבחינת הצורה שלהם, למרות שהם שונים במראה.

במספרים נכון שאפשר לפרק כל מספר לגורמים ראשוניים בדרך יחידה, רק סדר הגורמים יכול להשתנות. במדע משתמשים בביטוי גם כשיש חישוב קרוב ולא מדויק.

"עד כדי סדר גודל" אומר בערך בטעות של פי עשר. רדיוס גרעין האורניום הוא כ-8×10^{-15} מטר. זה נרשם לפעמים כ-10^{-14} מטר עד כדי סדר גודל. בניסוי רתרפורד מצאו שרדיוס גרעין הזהב כ-10^{-15} מטר, וממצא זה שינה את ההבנה על מבנה האטום.

גם בנוסחאות משתמשים בביטוי כשהמטרה להראות תלות, לא לחשב בדיוק. למשל נפח כדור גדל כמו הרדיוס בחזקה שלוש. באנרגיה של מתנד, האנרגיה גדלה כמו ריבוע גובה התנודה.