עצמות נייפייר

עצמות נייפייר הן ערכת חישוב שהמציא ג'ון נייפייר כדי להקל על כפל וחילוק. המכשיר מאפשר לבצע כפל וחילוק בעזרת חיבור וחיסור בלבד. שם נוסף לו הוא רבדולוגיה (ῥάβδος = מוט, λόγος = מילה). נייפייר פרסם את המצאתו באדינבורו ב-1617. הוא גם קושר לשמו המצאת הלוגריתמים, אך הלוגריתם הוא רעיון שונה מבחינה מתמטית.

המכשיר מורכב ממוטות (רצועות עץ או מתכת) שעליהן חרוט לוח הכפל. כל מוט מיועד לספרה אחת. בריבועים על המוטים רשומות תוצאות המכפלות מפורקות לעשרות ואחדות, והמסגרת (ה'חשבונייה') מסדרת את המוטות לצד זה כדי לקרוא תוצאות.

כדי לכפול מסדרים את המוטות של ספרות הנכפל בשורה העליונה. קוראים את המספרים על האלכסונים בכל עמודה ומחברים אותם, מעבירים נשא כאשר צריך. כך מקבלים את המכפלות החלקיות ומוסיפים אותן כנהוג. כדי להכפיל מספרים ארוכים צריך יותר מוטות: אם המוטות חרותים משני צדדים צריך פחות מהם. אפשר גם להכפיל במספרים עשרוניים; מיקום הנקודה נקבע מסיכום המקומות העשרוניים.

החילוק נעשה בדומה לכפל ארוך. מניחים על הלוח את מוטות המחלק (המחלק הוא המספר שמחלקים בו). קוראים מהלוח את כל המכפלות של המחלק ב-1 עד 9. בוחרים את המכפלה הגדולה ביותר שהיא קטנה מהקטום הזמני, רושמים את ספרת המנה המתאימה, ומחסרים. חוזרים על הצעדים עד שההפרש קטן מהמחלק. הדוגמה בטקסט מראה חלוקה של 46,785,399 ב-96,431 שבה המנה היא 485 והשארית 16,364.

לשורש ריבועי משתמשים בעצם מיוחדת בעלת 3 עמודות. מרימים את הספרות בזוגות מימין לשמאל ואז בוחרים בכל שלב את הריבוע הגדול ביותר שהוא קטן מהשארית. בכל שלב קוראים ערכים מהעמודות השונות ומצטרפים ספרות לתשובה. לדוגמה, עבור 46,785,399 מתקבל החלק השלם של השורש 6839, ואחר מכן אפשר להמשיך ולייצר ספרות עשרוניות על ידי הוספת אפסים לשארית.

במאה ה-19 שונו העצמות כדי להיות קלות יותר לקריאה: המוטות נבנו בזווית של כ-65°, כך שהמרכיבים של כל תוצאה נרשמו אנכית והפכו ברורים יותר.

בשנת 1891 המציא הגנאי-לוקאס (Henri Genaille) שיפור שנקרא מוטות ז'נאי-לוקאס. הם חוסכים את הצורך בחיבור הנשאים. כל משבצת במוטים אלה כוללת חצים שמעבירים אוטומטית את ספרת העשרות אל הספרה הבאה, וכך קוראים את התוצאה ישירות בלי חיבור נוסף.

כמו עצמות נייפייר, כל מוטת ז'נאי מתאימה לספרה אחת ויש לה תשע משבצות למכפלות ב-1 עד 9. בצד ימין של כל משבצת נמצאת ספרת האחדות. בצד שמאל מצביע חץ (או שניים) על הספרה במוט הבא, ובכך מעביר את העשרות הלאה.

שימוש במוטות ז'נאי דומה בעצם לשימוש בעצמות נייפייר: מסדרים מוטות לפי הנכפל ושולפים ממוט האינדקס את המכפלות. החלק הפשוט הוא שקבלת המכפלה בכל ספרה נעשית בעזרת מעקב אחרי החיצים, ואין צורך להוסיף נשאים ידנית. שיטה זו נעשתה פופולרית בקצה המאה ה-19, אך נעלמה עם הופעת מכונות החישוב.

בדוגמה מוסבר כי עבור נכפל 52749 נקבלת המכפלה עבור ספרה מסוימת כ-210,996, כאשר קוראים את ספרות האחדות בעזרת המוט הימני ועוקבים אחר החיצים למוט הבא עד למוט האינדקס.

נייפייר יצר גם מערכת כרטיסים באריזה מעוטרת. התקן זה כולל 300 כרטיסים ויכולת לבצע כפלות מאוד ארוכות (עד מאות ספרות) על ידי סידור הכרטיסים. פריט כזה מוצג במוזיאון הארכאולוגיה הלאומי בספרד. בשנת 1876 שלחה הממשלה הספרדית את ההתקן לתערוכה בקנסינגטון, שם זכה לתשומת לב רבה.

עצמות נייפייר הן ערכת חישוב ישנה שעוזרת בכפל וחילוק. הממציא שלה הוא ג'ון נייפייר. הוא פרסם את ההמצאה ב-1617.

הן בנובות של מקלות עץ (מוטות). על כל מקל חרוט לוח קטן עם תוצאות כפל. כשמסדרים כמה מקלות בצד הם מראים מכפלות של מספרים. קוראים את המספרים על האלכסונים ומחברים אותם כדי לקבל את התשובה.

כדי לכפול שמים את המקלות של הספרות בשורה העליונה. קוראים את המספרים על האלכסונים. מוסיפים יחד ומעבירים "נשא" כשצריך. כך מקבלים את התוצאה.

בחילוק מניחים על הלוח את המקלות של המחלק (המספר שמחלקים בו). בוחרים מכפלות שנמצאות על המקלות ומורידים אותן. חוזרים עד שאין יותר מה לחסר. נשארת שארית אם המחלק לא נכנס בדיוק.

יש גם מקל מיוחד לשורש ריבועי (שלוקחים ממנו שורש). מחלקים את המספר בזוגות של ספרות ואז בוחרים ריבועים קטנים שמתאימים. זה דומה לסדרת צעדים של חיסור ובניה של התוצאה.

במאה ה-19 שיפרו את המקלות כדי שיהיה קל יותר לקרוא אותם. בשנת 1891 המציאו מוטות ז'נאי-לוקאס. הם משתמשים בחצים שעוזרים להעביר את העשרות אוטומטית. כך לא צריך לחשב נשאים.

לנייפייר הייתה גם תיבה עם כרטיסים שעשתה חישובים ארוכים. תיבה כזו שמורה היום במוזיאון הארכאולוגיה הלאומי בספרד. בשנת 1876 היא הוצגה בתערוכה בקנסינגטון.