עקרון הארגומנט

עקרון הארגומנט מקשר בין מספר האפסים והקטבים של פונקציה מרומורפית לבין השינוי בזווית (הארגומנט) של הערכים שלה כשהמסלול מקיף את תחום D.
תהי f פונקציה מרומורפית (כלומר אנליטית חוץ ממספר סינגולריות שהן קטבים) בתחום D, ושפת D היא מסילה פשוטה שבה f לא מתאפסת ואינה מקבלת קטבים. אז
(1/(2πi)) ∮_{∂D} (f'(z)/f(z)) dz = N − P,
כאשר N הוא מספר האפסים בתוך D כולל ריבויים, ו‑P הוא מספר הקטבים כולל ריבויים. בנוסף, השינוי בארגומנט של f לאורך שפת התחום מקיים
Δ arg f = 2π (N − P).

כדי לחשב את האינטגרל נשתמש במשפט השארית. נתבונן בפונקציה f'(z)/f(z). מכיוון ש‑f מרומורפית, הפונקציה הזו יכולה להיות סינגולרית רק באפסים ובקטבים של f.
אם a הוא אפס של f מהדרגה n, נרשום f(z)=(z−a)^n g(z), כאשר g הולומורפית ולא אפסית בסביבה. מחשבים:
f'(z)/f(z)=n/(z−a)+g'(z)/g(z).
האיבר g'(z)/g(z) הולומורפי, לכן השארית ב‑a שווה n.
אם b הוא קוטב של f מהדרגה m, כותבים f(z)=(z−b)^{-m} h(z) עם h הולומורפית ואינה אפסית. אז
f'(z)/f(z)=−m/(z−b)+h'(z)/h(z),
והשארית ב‑b היא −m.
לכן סכום השאריות בכל הסינגולריות בתוך D הוא סכום ריבויי האפסים פחות סכום ריבויי הקטבים. לפי משפט השארית מקבלים את זהות האינטגרל.

נבחר f(z)=((z+3)(z+1))/z^2 ונחשב את ∮_{|z|=2} f'(z)/f(z) dz.
האפסים של f הם z=−1 ו‑z=−3. בתוך המעגל |z|=2 נמצא רק z=−1, אפס פשוט, לכן N=1.
ל‑f יש קוטב ב‑z=0 מהדרגה 2, לכן P=2.
לפי עקרון הארגומנט: ∮_{|z|=2} f'(z)/f(z) dz = 2πi (N−P) = 2πi(1−2) = −2πi.

עקרון הארגומנט אומר: אם מסתובבים מסביב לצורה, שינוי הזווית של הערכים של פונקציה קשור לכמות האפסים והקטבים שבתוך הצורה.
פונקציה מרומורפית היא פונקציה חלקה חוץ ממספר נקודות מיוחדות שנקראות קטבים.
הנוסחה המרכזית היא: השינוי בזווית = 2π × (מספר האפסים − מספר הקטבים).

קרוב לכל אפס a אפשר לכתוב את הפונקציה כ־(z−a)^n × g(z).
זה גורם לתרומה +n לשינוי הזווית. ליד קוטב b כותבים (z−b)^{−m}×h(z).
זה נותן תרומה −m. חיבור כל התרומות נותן N−P.

נבחן f(z)=((z+3)(z+1))/z^2 על המעגל |z|=2.
האפסים הם −1 ו‑−3. רק −1 בתוך המעגל. לכן N=1.
יש קוטב ב‑0 בסדר 2. לכן P=2.
השינוי בזווית שווה ל‑2π(1−2) = −2π. התוצאה של האינטגרל היא −2πi.