שורש (של פונקציה)

שורש של פונקציה הוא איבר בתחום ההגדרה שעבורו ערך הפונקציה שווה 0. שורשים נקראים גם אפסים או פתרונות.

לדוגמה, עבור f(x)=sin(x) אם x=π אז f(x)=0, ולכן π הוא שורש. באופן כללי, עבור פונקציה ממשית שממפה לעצמה, שורש הוא ה-x שבו הגרף חותך את ציר ה-x. למשל, הגרף של f(x)=x^2-4 חותך את ציר ה-x בנקודות x=2 ו-x=-2.

דוגמה בתחום האלגברה הליניארית: אם A היא מטריצה (טבלה של מספרים) עם m שורות ו-n עמודות, ו-b הוא וקטור ב-R^m, אז וקטור z ב-R^n פותר את מערכת המשוואות Ax=b בדיוק כאשר z הוא שורש של הפונקציה f(x)=Ax-b.

מציאת שורשים נומרית היא תחום פעיל במחקר. שיטות נפוצות הן שיטת החצייה ושיטת ניוטון־רפסון. שיטת ניוטון־רפסון היא שיטה איטרטיבית שמשתמשת בנגזרת (הנגזרת היא השינוי של הפונקציה, כלומר השיפוע) כדי להתקרב לשורש.

לא כל פונקציה חייבת שיהיה לה שורש. למשל, הפונקציה f(x)=sin(x)-2 אין לה שורש, כי ערכי הסינוס תמיד בין -1 ל-1.

למשוואה ממעלה ראשונה ax+b=0 (a≠0) הפתרון הוא x=-b/a. למשוואה ממעלה שנייה ax^2+bx+c=0 יש נוסחת שורשים: x_{1,2}=(-b ± √(b^2-4ac))/(2a).

קיימות נוסחאות גם למעלות שלישית ורביעית, אך גלואה הוכיח שאין נוסחה כללית בעזרת רדיקלים (שורשים) למשוואות ממעלה חמישית ומעלה.

המשפט של בזו אומר: a הוא שורש של פולינום P(x) אם ורק אם (x-a) מחלק את P(x). הכוח המקסימלי שבו (x-a) מחלק את הפולינום נקרא ריבוי (אלגברי) של השורש.

המשפט היסודי של האלגברה קובע: על שדה המספרים המרוכבים, כל פולינום ממעלה n יש בדיוק n שורשים אם סופרים ריבויים. בנוסף, כל שורש שלם של פולינום עם מקדמים שלמים מחלק את המקדם החופשי. עבור שורש רציונלי a/c בשבר מופשט, a מחלק את המקדם החופשי ו-c מחלק את המקדם המוביל.

שורש של פונקציה הוא מספר x שעבורו הפונקציה נותנת 0. קוראים לזה גם אפס.

דוגמה פשוטה: אם f(x)=sin(x) וה-x שווה π, אז f(x)=0. לכן π הוא שורש.

כשפונקציה ממשית חותכת את ציר ה-x, זו נקודת שורש. למשל f(x)=x^2-4 חותכת בצירים ב-2 וב- -2.

יש דרכים מחשבתיות למצוא שורשים. שיטה אחת קוראים לה חצייה. שיטה שנייה קוראים לה ניוטון־רפסון. ניוטון משתמש ב"שיפוע" של הפונקציה כדי להתקדם אל השורש.

לא תמיד יש שורש. לדוגמה, sin(x)-2 אין לו שורש, כי ערכי הסינוס הם רק בין -1 ל-1.

פולינום ממעלה ראשון ax+b=0 נותן x=-b/a. למשוואה ריבועית יש נוסחה עם שורש מרובע (√).

המשפט של בזו אומר: אם x-a הוא גורם של הפולינום, אז a הוא שורש. הריבוי של השורש אומר כמה פעמים הגורם הזה חוזר.

אם משתמשים במספרים מרוכבים (מספרים שכוללים גם את השורש של -1), פולינום ממעלה n יש לו n שורשים כולל חזרות.