פאון משוכלל הוא גוף קמור שמוגבל על ידי מצולעים משוכללים חופפים (מצולע משוכלל = צלעות וזוויות שוות). בכל קודקוד של הפאון נפגשים אותו מספר של פאות, ולכל פאה יש את אותו מספר פאות צמודות לה.
קיימים חמישה פאונים משוכללים בתלת־ממד: ארבעון, קובייה, תמניון, תריסרון ועשרימון. שמות אלה משמשים כאן עבור הפאונים המשוכללים בלבד.
מושג זה מוכר גם כ"הגופים האפלטוניים" על שם אפלטון, אם כי הפאונים היו ידועים עוד לפניו. הפיתגוראים הכירו את התריסרון, ואוקלידס תיאר בנייתם והביא הוכחה שאלה היחידים האפשריים במרחב התלת־ממדי.
הסיבה שיש רק חמש אפשרויות קשורה לפרטי החיבור בפינות: סביב כל קודקוד צריך להתכנס מספר זהה של מצולעים משוכללים. אפשרויות ההרכבה בשילוב עם המגבלות הגיאומטריות מובילות בדיוק לחמש האפשרויות שצוינו. לדוגמה, שלושה משולשים יכולים להיפגש בקודקוד (כמו בארבעון), ארבעה משולשים (כמו בתמניון), חמישה משולשים (כמו בעשרימון), שלושה ריבועים (כמו בקובייה) או שלושה מחומשים (כמו בתריסרון). קומבינציות אחרות מובילות למשטח מישורי או אינן ניתנות להצמדה במרחב התלת־ממדי.
חבורת הסימטריה (קבוצת כל ההיפוכים והסיבובים ששומרים על הצורה) של כל פאון היא משמעותית: לחבורת התמורות של הארבעון קוראים A_4, לקובייה ולתמניון S_4, ולדודקהדרון ולאיקוסהדרון A_5.
השימוש הטכנולוגי הבולט בפאונים המשוכללים הוא בקוביות משחק. צורת הקובייה מעניקה הוגנות, לכל פאה אותו סיכוי להופיע. במשחקי תפקידים משתמשים בחמשת הגופים המשוכללים ועוד גוף לא‑משוכלל שלעיתים מופיע כ"d10" עם פאות בצורת דלתון.
בטבע מופיעים פאונים משוכללים במולקולות פשוטות, במבנה גבישים ובמעטפות חלבוניות של נגיפים. למשל, מולקולת האמוניה יש לה צורה דמויית טטראדרון (ארבעון), ולנגיף הפוליו מעטפת בצורה דמויית איקוסהדרון.
הפיתגוראים ראו בקשרים בין הפאונים ליסודות. בטימאוס אפלטון קישר בין ארבעת הפאונים הראשונים לארבעת היסודות: ארבעון, אש, קובייה, אדמה, תמניון, אוויר, עשרימון, מים; את התריסרון קישר לשמיים ול־12 המזלות, כי לו יש 12 פאות. אריסטו הוסיף יסוד חמישי, אתר.
מאוחר יותר פאצ'ולי קישר את התריסרון לפרופורציה הזהב, וקפלר ניסה לקשר בין חמשת הפאונים לכוכבי הלכת הידועים אז. ההצעה של קפלר נחשבה אחר כך כשגויה.
אפשר להגדיר פאון רגולרי גם דרך הסימטריות: פאון רגולרי הוא כזה שחבורת הסימטריות שלו פועלת באופן טרנזיטיבי על "דגלים" (שרשראות של אלמנטים כמו נקודה, צלע, פאה). יש משפחות אינסופיות של פאונים רגולריים בממדים שונים, אך בתלת־ממד קיימים רק חמשת הפאונים שהוזכרו. בממד הארבעה קיימים עוד שלושה פאונים רגולריים, ובממדים מעל לארבעה יש בדיוק שלושה פאונים רגולריים. האוקטפלקס (אחת התצורות בארבעה ממדים) הוא דואלי לעצמו, ושני הגופים האחרים בדירוג זה דואליים זה לזה.
פאון משוכלל הוא גוף עם פאות זהות של מצולעים משוכללים. (מצולע משוכלל = כל הצלעות והזוויות שוות.)
יש חמישה פאונים כאלה: ארבעון, קובייה, תמניון, תריסרון ועשרימון.
קוביות משחק הן דוגמה מפורסמת. צורת הקובייה עוזרת לקובייה להיות הוגנת בהטלה.
יש גם דוגמאות בטבע: אמוניה צורתה דומה לארבעון, ונגיף הפוליו בנוי כמו איקוסהדרון.
הפילוסופים היו קשורים לזה. אפלטון קישר כל פאון עם יסוד: ארבעון לאש, קובייה לאדמה, תמניון לאוויר, עשרימון למים. את התריסרון הוא קישר לשמיים ו־12 המזלות.
אחרים ניסו לקשר בין הפאונים לכוכבי הלכת, אך זה לא היה נכון.
מומחים מגדירים פאון רגולרי לפי הסימטריות שלו. בתלת־ממד יש רק חמשת הפאונים האלה. במרחבים של ממדים יותר גבוהים יש פאונים אחרים, כולל כמה בארבעה ממדים.
תגובות גולשים