פולינום

במתמטיקה, פולינום (לעתים 'רב־איבר') במשתנה x הוא ביטוי מהצורה a0 + a1 x + ... + an x^n. כאן ה־a_k הם קבועים. למשל 3x^2+7x-5 הוא פולינום במשתנה x. אפשר להגדיר פולינומים במשתנים אחרים, כמו y^9-y, וגם פולינומים בכמה משתנים, למשל x^3 y z + x y^3 z - 2 x y.

מקדמים שהם מספרים ממשיים נקראים פולינומים ממשיים. באופן כללי המקדמים יכולים להיות איברים בשדה או בחוג F. המחברים a_k x^k נקראים מונומים. בּמונום זה k הוא החזקה (או המעריך) ו־a_k הוא המקדם. המעלה או הדרגה של פולינום היא החזקה הגבוהה ביותר שמופיעה בו. a_0 הוא המקדם החופשי, ו־a_n הוא המקדם המוביל. אם המקדם המוביל שווה ל־1, קוראים לפולינום 'מתוקן' או 'מו־נחי' (monic).

פולינום מגדיר פונקציה פולינומית כאשר מקדמיו שייכים לשדה F. הערכת הפולינום ב־b נעשית בהצבה: p(b)=a_n b^n+...+a_1 b+a_0. למשל p(x)=x^2+4 נותן p(3)=13. ביטוי שהוא יחס של שני פולינומים, p1(x)/p2(x), נקרא פונקציה רציונלית. פונקציות פולינומיות ניתנות לחישוב באמצעות מספר סופי של חיבור וכפל בלבד. לכן לפולינומים יש חשיבות בתורת הקירובים.

ניתן לרשום פולינום גם בצורה הסכומית
\sum_{i=0}^n a_i x^i


שורש או אפס של פולינום f(x) הוא ערך r שמקיים f(r)=0. מציאת השורשים היא בעיה ותיקה במתמטיקה. פולינום ממעלה שנייה נקרא פולינום ריבועי. השיטות לפתרון משוואה ריבועית היו ידועות כבר בימים קדומים. בשנת 1545 פרסם ג'ירולמו קרדאנו שיטה לפתרון משוואה ממעלה שלישית, ושיטות למעלה רביעית הובאו באותה תקופה בידי לודוביקו פרארי. במאה ה־19 הוכיחו אבל וגלואה שאין נוסחה כללית בידי חיבור, כפל והוצאת שורשים (רדיקלים) לשורשים של פולינומים ממעלה מעל 4.

אם מקדמי הפולינום הם ממשיים, אז לכל פולינום ממעלה אי זוגית יש לפחות שורש ממשי. עובדה זו נובעת ממשפט ערך הביניים. לפולינומים ממעלה זוגית לעיתים אין שורש ממשי; דוגמה היא x^2+1. לפי המשפט היסודי של האלגברה, לכל פולינום ממעלה n יש בדיוק n שורשים בשדה המספרים המרוכבים, אם סופרים שורשים חוזרים.

כאשר כל המקדמים הם מספרים רציונליים, השורשים נקראים מספרים אלגבריים. מספרים טרנסצנדנטיים, כמו פאי, הם אלה שאינם שורש של אף פולינום שהמקדמים שלו רציונליים.

את הפתרונות הרציונליים של פולינום עם מקדמים שלמים אפשר לצמצם בעזרת משפט השורש הרציונלי. אם p(x)=a_n x^n+...+a_0 הוא פולינום שלמים, וכל שורש רציונלי הוא c/d במצורת יחס במינימום, אז c מחלק את a_0 ו־d מחלק את a_n. המשפט נותן קבוצה סופית של מועמדים לבדיקה על ידי הצבה.

קבוצת כל הפולינומים מעל שדה F או חוג R מהווה חוג, ומסומנת F[x] או R[x]. מעל שדה, החוג הוא חוג אוקלידי. זה מאפשר שימוש בחלוקה עם שארית.

קבוצת פולינומים מסוימת מהווה מרחב וקטורי ביחס לחיבור ולהכפלה בסקלר. זה מאפשר לטפל בפולינומים בעזרת כלים של אלגברה ליניארית.

עבור שני פולינומים p ו־q עם מעלת p קטנה ממעלת q, אפשר לכתוב q = s·p + r, כאשר s הוא פולינום המנה ו־r היא השארית, ובעלת מעלה קטנה ממעלת p. אם השארית r שווה לאפס, אז q מתחלק ב־p. מהלכה של חלוקה זו נובע קריטריון חשוב: c הוא שורש של p(x) אם ורק אם (x-c) מחלק את p(x). לעיתים משתמשים בקריטריון איזנשטיין כדי לבדוק אם פולינום עם מקדמים שלמים בלתי ניתן לפירוק.

השדה של השברים מתוך F[x] מורכב מכל הביטויים p(x)/q(x) עם p,q בפולינומים של F. מסמנים אותו F(x).

מושג הפולינום נרחב גם למקרים עם כמה משתנים. לדוגמה, פולינום בשני משתנים x ו־y הוא סכום של מקדמים כפולים בחזקות של x ו־y. קבוצת הפולינומים באותו מספר משתנים היא חוג, אך עבור יותר ממשתנה אחד החוג עלול לא להיות חוג ראשי. תת־קבוצה חשובה היא הפולינומים הסימטריים. פולינום f(x_1,...,x_n) נקרא סימטרי אם הערך שלו לא משתנה כשמחליפים את המשתנים ביניהם. כל פולינום סימטרי ניתן להציג כפולינום בפולינומים הסימטריים האלמנטריים המתאימים.

פולינום הוא ביטוי חיבור וכפל של x ושל מספרים. דוגמה פשוטה: 3x^2+7x-5. כל חלק ak x^k נקרא מונום. k זו החזקה. a_k זה המקדם. האיבר בלי x נקרא המקדם החופשי.

מעלה או דרגה של פולינום היא החזקה הכי גדולה שיש בו. אם המקדמים הם מספרים רגילים קוראים לפולינום 'ממשי'. אפשר גם פולינומים בכמה משתנים, כמו x^3 y z.

כשהצבים מספר במקום x, מקבלים ערך. למשל p(x)=x^2+4 נותן p(3)=13. מספר שמכניסים לפולינום ומקבלים 0 נקרא שורש. שורש הוא עצירה של הפולינום.

פולינומים ריבועיים הם כאלה עם x^2. שיטות לפתרון משוואות ריבועיות ידעו כבר בעת העתיקה. במאה ה־16 נמצאו שיטות לשורשים של משוואות ממעלה שלישית ורביעית. במאה ה־19 הוכיחו מתמטיקאים שאין נוסחה כללית לשורשים של מעלות גדולות מ־4 בעזרת חיבור והוצאת שורשים.

אם פולינום מתחלק ב־(x-c), אז c הוא שורש. יש חוקים שעוזרים למצוא שורשים כאשר המקדמים הם שלמים. פונקציה שהיא יחס של שני פולינומים נקראת פונקציה רציונלית.

יש גם פולינומים סימטריים. פולינום כזה לא משתנה כשמחליפים בין המשתנים שלו. לכל רעיון כזה יש כללים שימושיים במתמטיקה.