פונקציה אלמנטרית

פונקציה ממשית או מרוכבת במשתנה אחד נקראת פונקציה אלמנטרית אם אפשר לבנות אותה בעזרת מספר סופי של פעולות אריתמטיות (חיבור, חיסור, כפל וחילוק) והרכבות מפונקציות בסיסיות. פונקציות בסיסיות כאלה כוללות אקספוננט, לוגריתם ופונקציות טריגונומטריות.

דוגמה פשוטה: הביטוי e^{x^2}-3\,\ln^{\cos(x)}(x^3+x^2) הוא אלמנטרי. לעומת זאת, הפונקציה שמחזירה את החלק השלם של x (החלק השלם = floor) אינה אלמנטרית.

קיים אלגוריתם רקורסיבי שמחשב את הנגזרת של כל פונקציה אלמנטרית, על ידי שימוש בכלליי הגזירה והנגזרות של פונקציות הבסיס. אבל פונקציה קדומה (אינטגרל לא מסוים) של פונקציה אלמנטרית אינה חייבת להיות אלמנטרית. למשל, הפונקציה שמוגדרת כשטח מתחת לגרף של e^{-t^2} עד x ידועה בכך שאין לה פורמט אלמנטרי (זה קשור למשפט ליוביל).

אם פונקציה קדומה היא אלמנטרית, ניתן למצוא אותה באופן אלגוריתמי באמצעות אלגוריתם ריש, שאומר כיצד לאתר אינטגרלים אלמנטריים מתוך הנגזרת.

מניתוח הפונקציות האלמנטריות עולה שניתן לקבל פונקציות כמו a^x על ידי חיבור של e^{x\ln a}. גם חזקות x^{\alpha} נכתבות בעזרת לוגריתם ואקספוננט. בגלל הקשרים בין פונקציות טריגונומטריות לאקספוננט דרך פונקציות היפרבוליות, אפשר לוותר על חלק מהפונקציות ברשימה ולהפיק אותן מאחרות.

במספרים מרוכבים מספיק להסתפק ב-e^x, ב-\ln(x) ובקבועים מרוכבים כדי לבנות את כל הפונקציות האלמנטריות.

אפשר לתאר את מבנה הפונקציות האלמנטריות גם בצורה אלגברית באמצעות אופרטור גזירה על שדה. גזירה אלגברית היא אופרטור אדיטיבי \partial שמקיים את כלל לייבניץ: \partial(rs)=\partial(r)s+s\partial(r).

מתחילים בשדה הפונקציות הרציונליות C(t) עם הנגזרת הרגילה. בונים מגדל של הרחבות: בשלב k יש שדה F_k. מוסיפים לשדה איברים שמתנהגים כמו אקספוננט או לוגריתם של איברים בשדה הקודם. התוספות נקבעות כפתרונות של משוואות דיפרנציאליות שמתאימות לאופרטור הגזירה.

משלבים כל השלבים לקבלת איחוד של כל השדות F_k. איחוד זה שדה סגור תחת חיבור, חיסור, כפל וחילוק, והוא סגור גם תחת הרכבת פונקציות. הוא מכיל את האקספוננט, הלוגריתם והקבועים, ולכן הוא שדה הפונקציות האלמנטריות.

לא ידוע אם קיים אלגוריתם שמחליט תמיד האם פונקציה אלמנטרית נתונה שווה לאפס בכל מקום. אלגוריתם ריש מבצע רדוקציה של בעיית חישוב אינטגרל לא מסוים של פונקציה אלמנטרית לבעיית הזיהוי של פונקציית האפס.

פונקציה היא כלל שמקבל מספר ומחזיר מספר. פונקציה אלמנטרית בנויה מפעולות פשוטות. אלה פעולות כמו חיבור, כפל, חילוק והעמדות של פונקציות מוכרות.

פונקציות מוכרות כאלה הן אקספוננט (פונקציה שגדלה מהר), לוגריתם (הפוך של אקספוננט) ופונקציות טריגונומטריות (כמו סינוס וקוסינוס).

יש דוגמאות: יש ביטויים מסובכים שעושים את כל זה יחד, ולכן הם אלמנטריים. אבל יש פונקציות פשוטות, כמו זו שמחזירה את החלק השלם של מספר, שאינן אלמנטריות.

אפשר לחשב את הנגזרת של רוב הפונקציות האלה בעזרת סדרת כללים פשוטים. אבל לפעמים אי אפשר לכתוב את האינטגרל שלהן בעזרת הפונקציות הבסיסיות האלו. דוגמה ידועה היא פונקציה שקשורה ל־e בחזקת -t בריבוע; היא לא ניתנת לכתיבה בצורה אלמנטרית.

מפתחים פונקציות אלמנטריות בשלבים. בכל שלב מוסיפים פונקציות חדשות שמתנהגות כמו אקספוננט או לוגריתם על מה שכבר יש. בסוף מקבלים קבוצה שכוללת את כל הפונקציות האלמנטריות.