פונקציית דיריכלה

פונקציית דיריכלה היא פונקציה ממשית שמקבלת את הערך 1 בכל מספר רציונלי, ואת הערך 0 בכל מספר אי‑רציונלי. רציונלי = מספר שניתן לכתוב כמנה של שני שלמים. אי‑רציונלי = מספר שאי‑אפשר לכתוב כמנה כזו. יש גם מקורות שמגדירים אותה הפוך, כמציינת האי‑רציונליים. הפונקציה נקראת על שם המתמטיקאי גוסטב דיריכלה.


הפונקציה מוגדרת על כל המספרים הממשיים. היא משמשת כדוגמה נגדית מתמטית, כלומר מראה תופעות שנראות נדירות או בלתי צפויות. לדוגמה, המשקל x·D(x) (משמעו להכפיל את הפונקציה ב‑x) רציף רק בנקודה 0. גם x^2·D(x) גזירה רק בנקודה 0. בנוסף, לפי משפט הקטגוריה של בר, פונקציית דיריכלה אינה גבול נקודתי של אף סדרת פונקציות רציפות על אף קטע. עם זאת, מבחינה טכנית היא גבול כפול של סדרת פונקציות רציפות, ובכך משתייכת למחלקת בר מסדר שני (Baire class 2).


פונקציית דיריכלה אינה רציפה באף נקודה, בכל נקודה אי‑אפשר למצוא גבול יחיד לערכים. יש פונקציות שדומות לה במובן שהן מקבלות גבול בנקודה אחת בלבד, אך שומרות על אי‑רציפות במקום אחר. אם פונקציה כן בעלת גבול בכל נקודה, אז קבוצת נקודות אי‑הרציפות שלה לא יכולה להיות גדולה מדי (היא "בת‑מניה"), מה שמבחין בינה לבין פונקציית דיריכלה.

פונקציית דיריכלה נותנת 1 לכל מספר רציונלי ו‑0 לכל מספר אי‑רציונלי. רציונלי = מספר שניתן לכתוב כשבר של שני שלמים. אי‑רציונלי = מספר שלא ניתן לכתוב כך. הפונקציה זו קרויה על שם דיריכלה.


היא מוגדרת על כל המספרים הממשיים. היא לא רציפה בשום נקודה. רציפה (פשוט) אומרת: אם מתקרבים לנקודה, הערכים גם מתקרבים. כשרבים המקרים בהם הערך קופץ, זה לא רציף. אם מכפילים את הפונקציה ב‑x, מקבלים פונקציה שהיא רציפה רק ב‑0. זהו דוגמה מיוחדת שמראית כמה פונקציות יכולות להיות מוזרות.