פונקציית רימן

פונקציית רימן (נקראת גם "פונקציית הסרגל", "פונקציית הפופקורן" או "פונקציית תומה") היא פונקציה ממשית עם התנהגות ייחודית בנקודות שונות על הישר.

הפונקציה מוגדרת כך: אם x הוא מספר רציונלי שניתן לכתוב כשבר מצומצם p/q, אז ערך הפונקציה ב-x הוא 1/q. מספר רציונלי הוא מספר שמתקבל מחלוקת של שני שלמים. אם x אינו רציונלי (מספר שאי־אפשר לבטאו כשבר שלמים), הערך שלה ב-x הוא אפס. לדוגמה, בכל מספר שלם הערך הוא 1, כי המכנה הוא 1.


הפונקציה רציפה בכל נקודה אי־רציונלית, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית. כלומר, כל הרציונליים הם נקודות אי־רציפות. מכאן שנקודות האי־רציפות מרובות וצפופות בכל הישר, אך כמויותיהן מבחינת אורך הן אפסיות (נגיד שהן "בעלות מידה אפס").

עוד תכונה חשובה: הפונקציה אינטגרבילית לפי רימן על כל קטע חסום, והאינטגרל שלה שווה לאפס. זאת אף על פי שהיא אינה רציפה או מונוטונית על אף קטע פתוח.


אם מסדרים את הרציונליים ברשימה רנ"); ניתן להגדיר פונקציה על ידי סכימה על איברי הרשימה. הפונקציה שמתקבלת בדוגמה זו היא רציפה באי־רציונליים ושונה ברציונליים, אך בנוסף לה ניתן לקבל פונקציה שמונוטונית עולה על כל הישר.


באופן כללי, קבוצת נקודות האי־רציפות של כל פונקציה ממשית היא F_sigma, איחוד בן־מנייה של קבוצות סגורות. מאחר שקבוצת האי־רציונליים אינה F_sigma, לא קיימת פונקציה שהנקודות האי־רציפות שלה הן בדיוק האי־רציונליים.


אם x רציונלי, אז f(x) אינו אפס. אך קיימת סדרת אי־רציונליים שמתקרבת ל-x. על האיברים האלה הפונקציה שווה אפס, ולכן הגבול לא שווה לערך בפועל. כך x היא נקודת אי־רציפות. לעומת זאת, אם x אי־רציונלי ונבחר ε חיובי, הרי בקטע קטן סביב x יש רק מספר סופי של רציונליים עם ערך הפונקציה גדול מ־ε. לכן ניתן למצוא שכונה שבה כל הערכים קרובים לאפס, ומשם נובע שהפונקציה רציפה ב-x.

הפונקציה נקראת גם פונקציית פופקורן או פונקציית תומה. היא נותנת מספרים מיוחדים לכל נקודה על הקו.

אם המספר הוא שבר בפורמט פשוט p חלקי q, אז הערך הוא אחד חלקי q. אם המספר אינו שבר כזה (זהו מספר אי־רציוני), הערך הוא אפס. לדוגמה, במספר שלם הערך הוא 1.


הפונקציה אינה רציפה בכל מספר רציונלי. היא רציפה בכל מספר שאינו רציונלי. זה אומר שיש הרבה נקודות שבהן היא לא רציפה, אבל הם מפוזרות.


אם בוחר רציונלי x, אז ערך הפונקציה שם שונה מאפס. אבל סביב x יש תמיד מספרים אי־רציונליים קרובים, שלגביהם הערך הוא אפס. לכן הפונקציה קופצת שם ולא רציפה. אם x אי־רציונלי, אפשר לבחור שטח קטן סביבו שבו אין הרבה רציונליים עם ערכים גדולים. לכן שם הפונקציה לא קופצת והיא רציפה.