חתכי דדקינד

חתכי דדקינד הן שיטה לבניית שדה המספרים הממשיים מתוך הרציונליים. ריכרד דדקינד הציג אותה ב-1872, ובאותה שנה הציע גאורג קנטור בנייה אחרת באמצעות "סדרות קושי" (סדרות שמקרבות מספר).

חתך במספרים הרציונליים הוא חלוקה לשתי קבוצות לא ריקות A ו-B כך שכל איבר של A קטן מכל איבר של B, ול-A אין מקסימום. דוגמה: עבור רציונלי r נשאר A={x: x
ניתן להגדיר חיבור וכפל על חתכים, והאוסף הופך לשדה. כאן שדה פירושו מערכת שמאפשרת חיבור וכפל עם תכונות רגילות. טענת המפתח: תת-השדה של החתכים הרציונליים מקביל לרציונליים המקוריים, והשיכון שומר על יחס הסדר.

קיימים גם חתכים לא רציונליים. למשל, אם B תהיה הקבוצה של הרציונליים החיוביים שריבועם גדול מ-2, ו-A המשלים שלה, אז החתך A|B מתנהג כמו שורש ריבועי של 2. כלומר הוא אינו רציונלי.

השדה שמתקבל הוא שדה מסודר (כלומר מסודר לפי <), שלם מבחינת תכונת השלמות: לכל תת־קבוצה חסומה מלעיל יש סופרמום (הגבול התחתון של כל המספרים הגדולים עליה). השדה גם ארכימדי, אין בו אינסופים קטנים או גדולים מוזרים. השדה הזה הוא שדה המספרים הממשיים, ויחיד במבנה זה. עבור כל שדה מסודר ניתן לבנות את אוסף החתכים, ואם השדה המקורי ארכימדי התוצאה איזומורפית לממשיים.

בשנת 1972 ג'ון קונוויי הכליל את הרעיון ובנה את "המספרים הסוריאליסטיים".

ניתן להגדיר חתכים לכל קבוצה מסודרת A (קבוצה שבה לכל שני איברים יש יחס סדר מלא). קריטריון החתך דומה: קבוצה לא ריקה בלי מקסימום שצריכה להיות סגורה כלפי מטה. את קבוצת כל החתכים D מסדרים לפי הכללה.

ההטלה הקנונית שולחת כל x ב-A לקבוצת האיברים שקטנים ממנו. בכך A משתלבת ב-D ושם הוא צפוף: בין שני איברים של D תמיד יש איבר מ-A. בכל D כל תת-קבוצה חסומה ולא ריקה מקבלת סופרמום, וכל איבר שנוסף ב-D הוא סופרמום של תת-קבוצה מ-A. אם A כבר מקיימת את תכונת השלמות, אז D איזומורפית ל-A. בנוסף, בהקשר טופולוגי A צפוף ב-D, ואם A צפוף (בסדר) אז D הוא מרחב קשיר.

מילות מפתח: חתכי דדקינד מספרים ממשיים רציונליים תכונת השלמות ארכימדי קנטור קונוויי חתך

חתכי דדקינד הם דרך לבנות את המספרים הממשיים מהמספרים הרציונליים. ריכרד דדקינד הציע את הרעיון ב-1872.

חתך מחלק את המספרים הרציונליים לשתי קבוצות A ו-B. כל מספר ב-A קטן מכל מספר ב-B. וגם ב-A אין מספר הכי גדול. לדוגמה, עבור מספר רציונלי r אפשר להפריד את אלה שקטנים מ-r ואת אלה שגדולים או שווים ל-r.

אין רק חתכים שמייצגים רציונליים. יש חתכים שמייצגים מספרים שאינם רציונליים. למשל, נבחר את B להיות הרציונליים החיוביים שריבועם גדול מ-2. הקבוצה A היא כל השאר. החתך הזה מתאים לשורש של 2, והוא לא רציונלי.

משרבבים את כל החתכים ומשתמשים בהם לחיבור וכפל. התוצאה היא שדה המספרים הממשיים. שדה כאן אומר שאנחנו יכולים לבצע חיבור וכפל באופן רגיל.

אותם רעיונות עובדים גם לכל קבוצה מסודרת. בונים את כל החתכים D ומסדרים אותם. כל איבר של A עובר לחתך של כל האיברים הקטנים ממנו. כך A נמצא בתוך D וצפוף בו. בכל D לכל קבוצה שחסומה מעל יש גבול עליון קטן ביותר, שנקרא סופרמום. אם A כבר מלא בתכונה הזו, אז D לא מוסיף דבר חדש.