פרדוקס השקרן

פרדוקס השקרן הוא פרדוקס בפילוסופיה ובלוגיקה. הוא מתואר במשפטים כמו "אני משקר עכשיו" או "המשפט הזה הוא שקר". משפטים אלה מפנים אל עצמם, כלומר הם מתייחסים למה שהם עצמם אומרים. הפנייה העצמית (התייחסות עצמית) יוצרת סתירה: אם המשפט אמיתי הוא אומר שהוא שקר, ואם הוא שקר הוא אומר שהוא אמת.

כרוניקה ישנה מביאה את דוגמת אפימנידס, פילוסוף מכרתים, שאמר "כל אנשי כרתים שקרנים". אם נאמין לו, גם הוא שקרן; ואם נדחה אותו, ייתכן שיש דוברי אמת בכרתים. זו דוגמה מוקדמת לפרדוקס שניתן לחדד לנוסח המודרני "מה שאני אומר עכשיו הוא שקר".

וריאציה מודרנית היא מבחן רב-ברירתי שבו האפשרות הרביעית היא "אף תשובה אינה נכונה". אם א-ה אינם נכונים, נצטרך לבחור ד', אך בחירה זו טוענת גם היא שאינה נכונה. זהו מקרה נוסף של הפנייה עצמית שיוצר סתירה.

עיקר הבעיה הוא התייחסות עצמית. גם צמד משפטים "המשפט הבא הוא שקר. המשפט הקודם הוא אמת" יכול ליצור סתירה. יש וריאציות רבות, כמו משפט שמכריז על מספר שגיאות בשורה שמנסה לתאר את עצמו.

אחד הפתרונות מצביע על המילה "זה" כבעייתית. אפשר לומר שהמשפט חסר משמעות ולא מקבל ערך אמת. גישה אחרת דוחה את תוכן המשפט באופן שלא מוביל לסתירה: דוחים את הטענה כאינה אמיתית, אבל לא טוענים שהניגוד לה חייב להיות אמיתי. כך הפרדוקס מתפוגג כי התביעה על עצמה אינה מניחה ערך אמת חד־ערכי.

פרדוקס השקרן דומה לפרדוקס הספר ולפרדוקס ראסל בכך שכולם מערערים על ההנחה שניתן לייחס לכל טענה ערך אמת. חלק מהפרדוקסים האלה דורשים שינוי בהנחות היסוד של המערכות שבהן הם מופיעים.

מתמטיקאים השתמשו בסגנון ההוכחה הזה כדי להסיק תוצאות חשובות. גאורג קנטור השתמש בסתירות דומות להוכיח את משפט קנטור על ריבויונים. קורט גדל בנה טענה שבעצם אומרת "הטענה הזו אינה ניתנת להוכחה" והראה את משפט האי-שלמות שלו. אלפרד טרסקי הראה שבתורות מסוימות אי-אפשר לבנות טענה שגורה "טענה זו שקרית". אלן טיורינג השתמש בבנייה דומה כדי להראות שבעיה מסוימת במחשבים, בעיית העצירה, אינה ניתנת לפתרון אלגוריתמי.

פרדוקס השקרן הוא בעיה עם משפטים שאומרים על עצמם שהם שקר. דוגמה פשוטה: "אני משקר עכשיו". אם זה נכון, אז הוא שקר. אם הוא שקר, אז הוא נכון. זו סתירה.

יש סיפור עתיק על איש מכרתים שאמר "כל אנשי כרתים שקרנים". אם נאמין לו, גם הוא משקר. זה יוצר בלבול.

במבחן שיש בו ארבע תשובות, התשובה הרביעית יכולה להיות "אף תשובה אינה נכונה". אם נבחר בה, היא טוענת גם על עצמה שהיא לא נכונה. זהו פרדוקס אחר, דומה לשקרן.

הבעיה הגדולה היא שהמשפטים מדברים על עצמם. זה נקרא "התייחסות עצמית". המשפטים האלה יכולים לגרום לבלבול ולסתירה.

ממנהלים לפעמים את הבעיה על ידי כך שאומרים: המשפט חסר משמעות. או דוחים את תוכנו, במקום להכריז שמיד עניין הוא אמת או שקר.

מדענים השתמשו ברעיונות האלה כדי להראות דברים חשובים. קנטור, גדל וטיורינג השתמשו ברעיונות דומים להראות תוצאות גדולות במתמטיקה ובמדעי המחשב.