צפיפות דיריכלה

צפיפות דיריכלה היא מדד לגודל של קבוצה אחת ביחס לקבוצה אחרת, לרוב כאשר שתי הקבוצות אינסופיות.
השימוש בה נפוץ בתורת המספרים האנליטית, תחום שמשתמש בכלים של אנליזה כדי לחקור מספרים שלמים.
דיריכלה הציע את המדד הזה כאשר הוכיח שיש אינסוף מספרים ראשוניים בסדרות חשבוניות. משפטו קובע: אם a ו-n הם זרים (אין להם גורם משותף חוץ מ-1), אז יש אינסוף ראשוניים השווים ל-a לפי מודולו n.
דיריכלה אף הראה שהצפיפות של הראשוניים מהצורה a+nx בתוך כל הראשוניים שווה ל-1/φ(n). כאן φ היא פונקציית אוילר, שמספרת כמה מספרים קטנים מ-n הם זרים ל-n.
צפיפות דיריכלה של A בתוך B (כאשר A⊆B והגבול קיים) ניתנת כגבול
lim_{s→1^+} (Σ_{a∈A} a^{-s}) / (Σ_{b∈B} b^{-s}).
אם הגבול קיים, הערך תמיד בין 0 ל-1. המדד שימושי במיוחד כאשר Σ_{b∈B} b^{-1} מתבדר לאינסוף, כמו במקרה של כל המספרים הטבעיים (הטור ההרמוני) או של כל הראשוניים (טור ההופכיים של הראשוניים).
קיימות הגדרות דומות לקבוצות אחרות, למשל אידיאלים ראשוניים בחוגי שלמים של שדות מספרים או פולינומים מעל שדות סופיים.
אם נשארת B קבועה, אפשר לראות בצפיפות יחסית פונקציית מידה חלקית על B. צפיפות דיריכלה עונה על חלק מהאקסיומות של מידה, אך אינה σ-אדיטיבית כלומר היא לא מקיימת את כל התכונות של מידה מלאה.
אפשר להשוות אותה לצפיפות הטבעית, שנמדדת כגבול של היחס |A∩{1,…,n}|/|B∩{1,…,n}| כאשר הגבול קיים. תמיד שאם הצפיפות הטבעית קיימת, אז גם צפיפות דיריכלה קיימת ושווה לה. לעומת זאת, יש דוגמאות שבהן הצפיפות הטבעית אינה קיימת, בעוד שצפיפות דיריכלה מוגדרת היטב, ולכן צפיפות דיריכלה מהווה הכללה משמעותית של הצפיפות הטבעית.
במקרה של משפט דיריכלה על ראשוניים בסדרות חשבוניות, גם הצפיפות הטבעית קיימת, אך ההוכחה לכך קשה יותר מההוכחה המקורית של דיריכלה.

צפיפות דיריכלה היא דרך להראות כמה גדולה קבוצה בתוך קבוצה אחרת.
זהו כלי במתמטיקה שנמצא בשימוש בתורת המספרים, חקר המספרים השלמים.
דיריכלה השתמש בזה כדי להראות שיש אין סוף מספרים ראשוניים בסדרות מסוימות.
סדרה חשבונית היא סדרת מספרים כמו a, a+n, a+2n, ...
דיריכלה הראה שאם a ו-n אינם מתחלקים יחד, אז בין כל הראשוניים יש הרבה שמקיימים a מודולו n.
התוצאה אומרת שהחלק של הראשוניים האלה שווה ל-1 חלקי φ(n).
φ(n) היא פונקציה מיוחדת שמספרת כמה מספרים עד n הם זרים ל-n.
הצפיפות מחושבת על ידי השוואת סכומים מיוחדים שנוצרים מכל המספרים בקבוצות.
הערך המתקבל תמיד בין 0 ל-1.
יש גם רעיון דומה שנקרא צפיפות טבעית. הוא בודק כמה איברים מתוך ה-1 עד n שייכים לקבוצה.
לפעמים הצפיפות הטבעית לא קיימת, אך צפיפות דיריכלה כן. לכן היא חזקה יותר לפעמים.