קבוצה (מתמטיקה)

קבוצה היא מושג בסיסי במתמטיקה. בגישה הנאיבית קבוצה היא אוסף של עצמים, בלי חשיבות לסדר. עצמים אלו נקראים איברים. אם עצם שייך לקבוצה אומרים שהוא איבר שלה, ואם לא, הוא לא שייך. איבר יכול גם להיות קבוצה בעצמו.

בעת ניסיונות לנסח את הרעיון בצורה מדוייקת יותר משתמשים באקסיומות ZF. אקסיומות ZF הם כללים רשמיים (אקסיומות) שמגדירים עולם שבו כל האובייקטים הם קבוצות, ויחס השייכות מראה אילו קבוצות שייכות לאחרות. אקסיומות אלו מונעות סתירות כמו הפרדוקס של ראסל (פרדוקס שבו הגדרה אינטואיטיבית יוצרת סתירה).

שתי קבוצות שוות אם יש להן בדיוק את אותם האיברים. נהוג לכתוב קבוצות עם סוגריים מסולסלים, למשל {כלב, חתול, צרצר}. אפשר גם לתאר כלל שמגדיר את כל האיברים, לדוגמה {x : x אזרח סין}. לפעמים כותבים רשימה חלקית ואז '...' כדי לרמוז על שאר האיברים.

אפשר להציג קבוצות פשוטות כמו קבוצה של חיות או מספרים. חשוב להבין שהסדר ברשימה לא משנה, וגם אי-חשיבות החזרות, אם מופיע איבר פעמיים, הוא נחשב פעם אחת בלבד.

שלוש דרכים שונות להגדיר אותה קבוצה יכולות לתת את אותה קבוצה בפועל: רשימת כל האיברים, רישום עם חזרות או תיאור על ידי כלל שמאפיין את האיברים. כל שלוש השיטות יכולות להיות זהות מבחינה מתמטית.

ההגדרה האינטואיטיבית של קבוצה הובילה לפרדוקס של ראסל. כתוצאה מכך פותחה תורת הקבוצות עם ביסוס אקסיומטי. תורת הקבוצות היא הענף במתמטיקה שעוסק בחקר קבוצות ובמה שניתן לבנות מהן.

חיתוך של קבוצות הוא הקבוצה שמכילה את האיברים ששייכים לכל הקבוצות המעורבות. כלומר, איבר נמצא בחיתוך רק אם הוא נמצא בכל הקבוצות.

איחוד של קבוצות הוא הקבוצה שמכילה את כל האיברים שנמצאים לפחות בקבוצה אחת מתוך הקבוצות. כלומר, מספיק שאיבר יהיה באחת מהקבוצות כדי להיכלל באיחוד.

הפרש של שתי קבוצות A ו-B הוא קבוצת האיברים שב-A אך לא ב-B. מהפרש אפשר גם להגדיר הפרש סימטרי, שהוא האיברים שנמצאים בדיוק באחת משתי הקבוצות ולא בשתיהן.

קבוצה היא אוסף של דברים. אוסף זה יכול להכיל חיות, מספרים או דברים אחרים.

דברים שנמצאים בקבוצה נקראים איברים. אם משהו הוא איבר, הוא שייך לקבוצה.

רשומים קבוצות בתוך סוגריים כמו {כלב, חתול, צרצר}. הסדר לא חשוב. לא כותבים איבר פעמיים.

קבוצה יכולה להיות קבוצת חיות, קבוצת מספרים או כל אוסף אחר. אפשר גם לתאר חוק שמגדיר את כל האיברים.

את אותה קבוצה אפשר להראות בשלוש דרכים: לרשום את כל האיברים, לחזור על חלק מהם או לכתוב כלל שמסביר מי שייך.

התיאור הפשוט של קבוצה יצר בעיות מתמטיות בשם פרדוקס של ראסל. לכן המתמטיקאים קבעו חוקים ברורים כדי שלא יהיו סתירות.

חיתוך הוא הקבוצה של הדברים שנמצאים בכל הקבוצות יחד.

איחוד הוא הקבוצה של כל הדברים שנמצאים לפחות בקבוצה אחת.

הפרש של A ופעמים B הוא הדברים שב-A אבל לא ב-B.