קבוצה קמורה

קבוצה במרחב וקטורי קמורה אם לכל שתי נקודות בה גם הקטע המחבר נמצא בה. זאת אומרת, אם לוקחים שתי נקודות בקבוצה, כל הנקודות שבין השתיים שייכות גם הן לקבוצה. דוגמות פשוטות: משולש, עיגול ומקבילית קמורים; טבעת או פרסה אינן קמורות.

יהי C קבוצה במרחב וקטורי ממשי. C קמורה אם לכל x,y ב־C ולכל λ ב־[0,1] מתקיים λ·x+(1−λ)·y שייך ל־C. כאן λ הוא מספר בין 0 ל־1 שמשקול את שתי הנקודות.

מושג הקמירות מופיע גם לפונקציות. נהוג להגיד שפונקציה קמורה אם הקבוצה של הנקודות שמעל הגרף שלה (הניקראת אפיגרף) היא קמורה. יש גם מונח הפוך לפונקציה, פונקציה קעורה, אך לא מודד ההיפוך בקבוצות: קבוצה או קמורה או לא קמורה.

קמירות שימושית בתחומים שונים במתמטיקה. למשל באנליזה פונקציונלית: בקבוצה קמורה וסגורה במרחב הילברט (מרחב וקטורי עם מושג של אורך וזוויות) לכל נקודה חיצונית יש נקודה יחידה בקבוצה שמרוחקה ממנה הכי מעט. לפי משפט נקודת השבת של בראואר, לכל פונקציה רציפה ממוקמת עצמית על קבוצה קומפקטית וקמורה במרחב האוקלידי, יש נקודת שבת (fixed point).

ניתן להכליל את הקמירות למרחב מטרי (מרחב עם מושג מרחק). קבוצה במרחב מטרי קמורה אם כל שתי נקודות אפשר לחבר בעקום גאודזי, כלומר במסלול שהוא תצלום איזומטרי של קטע, שעובר כולו בקבוצה. במרחב נורמלי ממשי, עקום גאודזי הוא קטע, ולכן ההגדרה הזו מתאימה להגדרה הווקטורית.

קיימת גם קמירות חלשה יותר, נקראת קמירות מנגר: לכל שתי נקודות יש נקודה z בקבוצה הנמצאת ביניהן, כלומר המרחקים מקיימים d(x,z)+d(z,y)=d(x,y). כל קבוצה קמורה היא קמורת־מנגר, אך לא תמיד ההפך נכון. אם המרחב המטרי שלם, שני המושגים מתלכדים.

זוג (X,𝔽) נקרא מרחב קמירות אם 𝔽 הוא אוסף תתי־קבוצות של X שמכיל את ∅ ואת X, סגור תחת חיתוכים, וסגור תחת איחוד של שרשרת איברים. האיברים של 𝔽 נקראים קבוצות קמורות בהקשר זה.

קמור של קבוצה B הוא החיתוך של כל הקבוצות הקמורות שמכילות את B. זהו הקבוצה הקמורה הקטנה ביותר שכוללת את B. בסימון: Con(B)=⋂{C | B⊆C⊆V ו‑C קמורה}.

משולש, עיגול ומקבילית הם דוגמאות קמורות פשוטות. צורות כמו טבעת או פרסה אינן קמורות, כי הקו הישר בין שתי נקודות מסוימות יוצא מחוץ לצורה.

קבוצה קמורה היא קבוצה כזאת: אם לוקחים שתי נקודות בה, הקו הישר ביניהן נשאר בתוך הקבוצה. קווים ישרים אלה נקראים קטעים.

אם לוקחים נקודות x ו‑y בקבוצה ולוקחים מספר λ בין 0 ל‑1, הנקודה λ·x+(1−λ)·y נמצאת גם היא בקבוצה. λ הוא משקל לחלוקת הדרך בין הנקודות.

קבוצות רגילות קמורות הן משולש, עיגול ומקבילית. צורות כמו טבעת או פרסה לא קמורות. זאת כי יש נקודות שבהן הקו הישר ביניהן יצא החוצה.

יש גם רעיון לפונקציה: פונקציה קמורה היא כזו שהשטח שמעל העקומה שלה הוא קמור. אפשר לדמיין עקום כמו קערה.

הקמור של קבוצה הוא הצורה הקמורה הקטנה ביותר שמכילה את הנקודות. הוא בונה את כל הנקודות שביניהן.

במרחב שיש בו מרחק אפשר לומר שקבוצה קמורה אם כל שתי נקודות אפשר לחבר בדרך קצרת־דרך שנשארת בתוך הקבוצה. יש גם רעיון פשוט יותר: קמירות מנגר אומרת שיש נקודה באמצע בין שתי נקודות.