קבוצת מנדלברוט היא קבוצה של מספרים מרוכבים (מספר עם חלק ממשי וחלק מדומה) שמוגדרת בעזרת כלל איטרטיבי פשוט. למרות הכללים הפשוטים, הקבוצה מציגה מבנה פרקטלי (דפוס שחוזר על עצמו בכל קנה מידה) רב־מורכב. תמונה של הקבוצה הופיעה לראשונה בגרסה ברזולוציה נמוכה במאמר של רוברט ברוקס ופטר מטלסקי ב־1978. בנואה מנדלברוט חקר אותה עצמאית אחרי שהפעיל אנימציות של קבוצות ז'וליה (קבוצות של נקודות שהמסלולים שלהן חסומים) במחשב, ועבודותיו הובילו לכך שהקבוצה נקראת על שמו.
המחקר על קבוצת מנדלברוט צמח מתחום הפרקטלים ועם שמות מוקדמים כמו ז'וליה ופאטו. ברוקס ומטלסקי הציגו הדמיה ראשונית ב־1978. מנדלברוט חקר את התופעה בסביבות 1980, וב־1985 נעשתה פרסומה הרחב יותר ושמה הוצמד אליו. מאז הקבוצה הפכה לאובייקט מרכזי בחקר מערכות דינמיות מרוכבות.
לכל מספר מרוכב c מגדירים סדרה שמתחילה ב־0. כל איבר חדש מתקבל על ידי לקיחת הריבוע של האיבר הקודם והוספת c. אם הסדרה נשארת חסומה (לא בורחת לערכים גדולים), אז אומרים ש־c שייך לקבוצת מנדלברוט. דרך אחרת להסתכל על זה היא בעזרת קבוצת ז'וליה של אותו c: אם המסלול שמתחיל ב־0 חסום, אז קבוצת ז'וליה קשירה (כל חלקיה מחוברים); אם לא, היא מפורקת לגושי־קנטור (בלתי קשירה).
החקר של מנדלברוט קשור למערכת דינמית פשוטה: הפונקציה f_c(z)=z^2+c. זוהי הדוגמה הלא־טריוויאלית הראשונה לפולינום ממעלה שנייה במשתנה מרוכב. בדיקת השייכות של c לקבוצה נותנת מידע על התנהגות המסלולים של המערכת הזו לכל נקודה במישור המרוכב.
נקודת שבת (fixed point) היא נקודה שלא משתנה תחת הפונקציה. היא יציבה אם נקודות קרובות אליה מתקרבות אליה כשמפעילים את הפונקציה שוב ושוב. מסלול מחזורי (periodic orbit) הוא רצף נקודות שחוזר על עצמו אחרי מספר צעדים. ניתוח יציבות של נקודות שבת ומסלולים מחזוריים חשוב להבנת מבנה הקבוצה.
ניתן להרחיב את המישור המרוכב לספירת רימן (להוסיף נקודה באינסוף) כדי לקבל מרחב קומפקטי (מרחב סגור ומצומד). אז מחלקים את המישור לשני חלקים: אזורים שבהם ההתנהגות של האיטרציה רגועה (אזורי פאטו), והגבול האטומי שזו קבוצת ז'וליה. תכונות היסוד של מנדלברוט מתרגמות ישירות לתכונות של קבוצות ז'וליה המתאימות.
- אם נקודה מתחילה מחוץ למעגל רדיוס 2, אז המסלול שלה נשאר בורח לאינסוף. זה מקל בזיהוי נקודות שמחוץ לקבוצה.
- למערכת אין יותר ממסלול מחזורי אחד בכל מצב נתון.
- יש מסלול מחזורי אם ורק אם המסלול שמתחיל ב־0 מתכנס למסלול מחזורי.
- קבוצת ז'וליה קשירה בדיוק כש־c שייך למנדלברוט.
- אם c מחוץ למנדלברוט, קבוצת ז'וליה דומה במבנה לקנטור (חסרת קשירות).
- כשיש נקודת שבת יציבה, קבוצת ז'וליה היא עקום פשוט. אם יש מחזור יציב שאינו נקודת שבת, אז לקבוצת פאטו יש אינסוף רכיבי קשירות.
מבט מקרוב מראה רכיבים גדולים ופשוטים יחסית. החלק הגדול והבולט נקרא הקרדיואידה הראשית; צורתו דומה ללב־מעוקל (קרדיואידה). רכיבים היפרבוליים (components) הם אזורים שבהם קיימים מסלולי מחזור יציבים, וכל אחד מהם מקושר לערך רציונלי שמאפיין אותו. ליד הרכיבים הראשיים מופיעות "אנטנות", קווים דמויי־ענפים שמתפצלים וממשיכים לפרטים קטנים יותר.
המישור מוצג עם הציר האופקי כחלק ממשי והאנכי כחלק מדומה. נקודות שייכות לקבוצה נצבעות בשחור. נקודות אחרות מקבלות צבע לפי כמה איטרציות עוברות עד שהערך בחזקת־שניים נעשה גדול מרדיוס מסוים (בדרך כלל 2). כך מקבלים תמונות צבעוניות מרהיבות.
ניתן להחליף את החזקה השנייה בחזקה d ולחפש את הקבוצה המתאימה לפונקציה z↦z^d+c. כש־d מספר שלם, הקשר להגדרה דרך קבוצות ז'וליה נשמר.
המספר הממשי 1/4 הוא הערך הממשי הגדול ביותר בקבוצת מנדלברוט. נגדיר N_c כמספר האיטרציות עד שהסדרה עוברת את הערך 2. ישנה בניית גבול מתמטית שמערבת מצבים של c קרובים ל־1/4, ובה המקדמים המתאימים מתכנסים למספר π. זהו שימוש מתמטי מפתיע של הקבוצה בקרוב פאי.
קבוצת מנדלברוט היא קבוצת מספרים מיוחדים במישור. מספר מרוכב - מספר עם שני חלקים, אחד רגיל ואחד מדומה. בודקים כל מספר בעזרת סדרה שמתחילה ב־0. כל פעם מרבעים ומוסיפים את המספר. אם הסדרה לא בורחת, המספר שייך למנדלברוט.
התמונה הראשונה נוצרה ב־1978 על ידי ברוקס ומטלסקי. מנדלברוט חקר את הנושא במחשב בשנות ה־80. מאז שמו נודע והקבוצה נקראת על שמו.
המנדלברוט היא פרקטל. פרקטל - דמות שחוזרת על עצמה גם כשהורגים אותה ומגדילים. אם מגדילים חלק מהתמונה נראה שוב דוגמאות דומות.
החלקים השייכים לקבוצה צבועים בשחור. הנקודות האחרות מקבלות צבע לפי כמה מהר הן "בורחות". החלק הגדול נקרא הקרדיואידה הראשית. צורתו דמוית לב. לידו יש "אנטנות", קווים דקים שמסתעפים.
לכל מספר יש גם קבוצת ז'וליה. קבוצת ז'וליה היא הקבוצה של הנקודות שנשארות קרובות תחת אותה חזרתיות. אם המסלול שמתחיל ב־0 נשאר קרוב, אז ז'וליה מחוברת.
אפשר לשנות את החוק ולשחק עם חזקות שונות במקום ריבוע. אפשר גם להשתמש ברעיונות מהקבוצה כדי לקרב את המספר פאי. המנדלברוט מדהים כי צורתו יפה ומלאה בפרטים בכל הגדלות.
מחשבים מייצרים תמונות צבעוניות של הקבוצה. כשמגדילים אזור מסוים, מגלים פרטים קטנים חדשים.
מילים חשובות: מנדלברוט, פרקטל, קרדיואידה, אנטנות, ז'וליה, פאי.
תגובות גולשים